Wykaż, że suma sześcianów dwóch...- Zadanie 1: Nowa Teraz matura. Arkusze maturalne. Poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu

Jeżeli wielomian $W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ (gdzie $a_{n} \neq = 0$ i $a_{0} \neq = 0$ ) o współczynnikach całkowitych ma całkowity pierwiastek, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego $a_{0}$ .

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu

Jeżeli wielomian $W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ (gdzie $a_{n} \neq = 0$ i $a_{0} \neq = 0$ ) o współczynnikach całkowitych ma wymierny pierwiastek postaci $x = \frac{p}{q}$ , gdzie $p, q \in Z$ oraz $N W D (p, q) = 1$ , to $p$ - dzielnik wyrazu wolnego $a_{0}$ , $q$ - dzielnik współczynnika $a_{n}$ .

Twierdzenie Bézouta
Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W$ jest podzielny przez dwumian $x - a .$

Niech $x \in Z$ .

Liczba niepodzielna przez $3$ ma postać $3 x + 1$ lub $3 x + 2$ .

Zapiszemy teraz sumę sześcianów dwóch liczb całkowitych, które różnią się o $1$ i są niepodzielne przez $3$ .

$(3 x + 1)^{3} + (3 x + 2)^{3}$

Mamy wykazać, że liczba ta jest nieparzysta i podzielna przez $9$ .

Dowód

$(3 x + 1)^{3} + (3 x + 2)^{3} =$

korzystając ze wzoru na sześcian sumy dostajemy

$= (3 x)^{3} + 3 \cdot (3 x)^{2} \cdot 1 + 3 \cdot 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3} + (3 x)^{3} + 3 \cdot (3 x)^{2} \cdot 2 + 3 \cdot 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3} =$

$= 27 x^{3} + 3 \cdot 9 x^{2} + 9 x + 1 + 27 x^{3} + 3 \cdot 9 x^{2} \cdot 2 + 9 x \cdot 4 + 8 =$

$= 27 x^{3} + 27 x^{2} + 9 x + 1 + 27 x^{3} + 54 x^{2} + 36 x + 8 = 54 x^{3} + 81 x^{2} + 45 x + 9 =$

$= 9 (6 x^{3} + 9 x^{2} + 5 x + 1)$

Wykonamy teraz rozkład wielomianu $W (x) = 6 x^{3} + 9 x^{2} + 5 x + 1$ na czynniki stopnia co najwyżej drugiego.

Korzystają z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu zauważamy, że całkowitych pierwiastków wielomianu $W$ możemy szukać wśród liczb $- 1$ , $1$ . Sprawdźmy, czy liczby te są pierwiastkami wielomianu $W$ .

$W (x) = 6 x^{3} + 9 x^{2} + 5 x + 1$

$W (1) = 6 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 + 1 \neq = 0$

$W (- 1) = 6 \cdot (- 1)^{3} + 9 \cdot (- 1)^{2} + 5 \cdot (- 1) + 1 = - 6 + 9 - 5 + 1 \neq = 0$

Widzimy, że wielomian ten nie ma pierwiastków całkowitych.

Korzystają z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu zauważamy, że wymiernych pierwiastków wielomianu $W$ możemy szukać wśród liczb $- 1, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1$ . Sprawdźmy, czy liczby te są pierwiastkami wielomianu $W$ .

$W (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{2})^{3} + 9 (- \frac{1}{2})^{2} + 5 \cdot (- \frac{1}{2}) + 1 =$

$= 6 \cdot (- \frac{1}{8}) + 9 \cdot \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 1 = - \frac{6}{8} + \frac{9}{4} - \frac{5}{2} + 1 = - \frac{3}{4} + \frac{9}{4} - \frac{10}{4} + \frac{4}{4} = 0$

Zatem liczba $- \frac{1}{2}$ jest pierwiastkiem wymiernym wielomianu $W$ , czyli wielomian ten jest podzielny przez dwumian $(x + \frac{1}{2})$ .

Wykonajmy to dzielenie korzystając np. ze schematu Hornera.

	$6$	$9$	$5$	$1$
$- \frac{1}{2}$	$6$	$6 - \frac{1}{2} \cdot 6 + 9 =$	$2 - \frac{1}{2} \cdot 6 + 5 =$	$0 - \frac{1}{2} \cdot 2 + 1 =$

czyli wynikiem tego dzielenia jest

$q (x) = 6 x^{2} + 6 x + 2$

Zatem

$W (x) = (x + \frac{1}{2}) (6 x^{2} + 6 x + 2) = 2 (x + \frac{1}{2}) (3 x^{2} + 3 x + 1) =$

$= 2 (x + \frac{1}{2}) (3 x (x + 1) + 1) = (2 x + 1) (3 x (x + 1) + 1)$

Zauważmy, że wyrażenie $x (x + 1)$ jest liczbą parzystą, ponieważ jest to iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych, a co za tym idzie wyrażenie $3 x (x + 1)$ też jest liczbą parzystą. Zatem wyrażenie $3 x (x + 1) + 1$ jest liczbą nieparzystą. Dodatkowo wyrażenie $2 x + 1$ również jest liczbą nieparzystą.