Współrzędne wektora Wektor $AB$ , gdzie $A=\left(x_A,y_A\right),B=\left(x_B,y_B\right)$ ma współrzędne $\overrightarrow{AB}=\left[x_B-x_A,y_B-y_A\right]$ Długość wektora Długość wektora $\vec{v}=\left[v_1,v_2\right]$ dana jest wzorem $\left|\vec{v}\right|=\sqrt{{\left(v_1\right)}^2+{\left(v_2\right)}^2}$

---

 Wiemy, że punkt przecięcia przekątnych romb to $S=\left(2,1\right)$.

Wierzchołki $A$ i $B$ tego rombu leżą na prostej o równaniu $y=-\frac{1}{2}x-4$, zatem

$A=\left(x_A,-\frac{1}{2}{x}_A-4\right)$

$B=\left(x_B,-\frac{1}{2}{x}_B-4\right)$

---

Obliczmy długość wektora $\overrightarrow{AC}=\left[12,6\right]$.

$\overrightarrow{|AC|}=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}$

Punkt $S$ jest środkiem odcinka $AC$, zatem

 $\left|AS\right|=3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}$

Obliczymy teraz współrzędne punktu $A$ korzystając ze wzoru na długość odcinka.

$\sqrt{{\left(2-x_A\right)}^2+{\left(1-\left(-\frac{1}{2}{x}_A-4\right)\right)}^2}=\sqrt{45}$

${\left(2-x_A\right)}^2+{\left(1+\frac{1}{2}{x}_A+4\right)}^2=45$

$4-4x_A+x_A^2+{\left(5+\frac{1}{2}{x}_A\right)}^2=45$

$4-4x_A+x_A^2+25+5x_A+\frac{1}{4}{x}_A^2=45$

$\frac{5}{4}{x}_A^2+x_A-16=0$

$5x_A^2+4x_A-64=0$

$\Delta =16-4\cdot 5\cdot \left(-64\right)=1296$

$\sqrt{1296}=36$

$x_{A1}=\frac{-4-36}{2\cdot 5}=\frac{-40}{10}=-4$

$x_{A2}=\frac{-4+36}{2\cdot 5}=\frac{32}{10}=3,2$

Analizując podane w zadaniu dane dotyczące współrzędnych wektora $\overrightarrow{AC}$, zauważamy, że $x_A=-4$.

$A=\left(-4,-\frac{1}{2}\cdot \left(-4\right)-4\right)=\left(-4,-2\right)$

---

Znajdziemy teraz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $S$:

$a=\frac{1-\left(-2\right)}{2-\left(-4\right)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez punkty $B$ i $S$. Jest to prosta prostopadła do prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $S$, zatem jej współczynnik kierunkowy to $-2$, ponieważ

$\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)=1$

$y=-2x+b$

Szukana prosta przechodzi przez punkt $S$, więc

$1=-2\cdot 2+b$

$1=-4+b$

$5=b$

$y=-2x+5$

---

Zauważmy, że punkt $B$, to punkt przecięcia prostych o równaniach $y=-2x+5$ oraz $y=-\frac{1}{2}x-4$.

Znajdźmy współrzędne tego punktu.

$\{\begin{array}{l}y=-2x+5\\ y=-\frac{1}{2}x-4\end{array}$

Odejmujemy równania stronami.

$0=\frac{3}{2}x-9$

$6=\frac{3}{2}x$

$x=6$

$y=-\frac{1}{2}\cdot 6-4$

$y=-3-4=-7$

$B=\left(6,-7\right)$

---

Odp.: Wierzchołek $B$ ma współrzędne $B=\left(6,-7\right)$.