Założenie:

$n\in \mathbb{N}$

Teza:

$a=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n^2+3\right)=6k$

gdzie

$k\in \mathbb{N}$

---

Dowód:

Zauważmy, że aby liczba $a$ była podzielna przez $6$, to musi być podzielna przez $2$ oraz przez $3$.

Zauważmy, że liczby $n+1$ i $n+2$ to dwie kolejne liczby naturalne, zatem jedna z nich jest liczbą parzystą, a druga jest liczbą nieparzystą.

Iloczyn $\left(n+1\right)\left(n+2\right)$ jest więc podzielny przez $2$, a co za tym idzie liczba $a$ jest podzielna przez $2$.

Pozostaje nam jeszcze pokazać podzielność przez $3$.

Zauważmy, że możliwe reszty z dzielenia dowolnej liczby naturalnej przez $3$, to: $0,1$ lub $2$.

1. Jeśli liczb $n$ będzie postaci $n=3l$, dla $l\in \mathbb{N}$, to

$a=\left(3l+1\right)\left(3l+2\right)\left({\left(3l\right)}^2+3\right)=\left(3l+1\right)\left(3l+2\right)\left(9l^2+3\right)=$

$=\left(3l+1\right)\left(3l+2\right)\cdot 3\left(3l^2+1\right)$

Liczba $a$ jest więc podzielna przez $3$.

2. Jeśli liczb $n$ będzie postaci $n=3l+1$, dla $l\in \mathbb{N}$, to

$a=\left(3l+2\right)\left(3l+3\right)\left({\left(3l+1\right)}^2+3\right)=$

$=\left(3l+2\right)\cdot 3\left(l+1\right)\left({\left(3l+1\right)}^2+3\right)$

Liczba $a$ jest więc podzielna przez $3$.

3. Jeśli liczb $n$ będzie postaci $n=3l+2$, dla $l\in \mathbb{N}$, to

$a=\left(3l+3\right)\left(3l+4\right)\left({\left(3l+2\right)}^2+3\right)=$

$=3\cdot \left(l+1\right)\left(3l+4\right)\left({\left(3l+2\right)}^2+3\right)$

Liczba $a$ jest więc podzielna przez $3$.

Podsumowując, dla dowolnej liczby naturalnej $n$ liczba $a$ jest podzielna przez $2$ oraz przez $3$, zatem liczba $a$ jest liczbą podzielną przez $6$, czyli

$a=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n^2+3\right)=6k$

gdzie

$k\in \mathbb{N}$

Co było do wykazania.