Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego

Jeśli funkcja $f$ ma pochodną w punkcie $x_0$ i osiąga w tym punkcie ekstremum, to

$f^{\prime }\left(x_0\right)=0$

Warunek wystarczający istnienia ekstremum

• Jeśli funkcja $f$ ma pochodną w przedziale$\left(a,b\right)$ i $f^{\prime }\left(x\right)>0$ dla $x\in \left(a,x_0\right)$ oraz  $f^{\prime }\left(x\right)<0$ dla $x\in \left(x_0;b\right)$, to ma ona w punkcie $x_0$ maksimum.
• Jeśli funkcja $f$ ma pochodną w przedziale $\left(a,b\right)$ i $f^{\prime }\left(x\right)<0$ dla $x\in \left(a,x_0\right)$ oraz $f^{\prime }\left(x\right)>0$ dla $x\in x_0;b$, to ma ona w punkcie $x_0$ minimum.

Pochodna funkcji złożonej

Jeśli funkcja $f$ ma pochodną w punkcie $x_0$, natomiast funkcja $g$ ma pochodną w punkcie $f\left(x_0\right)$, to funkcja złożona $g\circ f$ ma pochodną w punkcie $x_0$, która dana jest wzorem

${\left[g\left(f\left(x_0\right)\right)\right]}^{\prime }=g^{\prime }\left(f\left(x_0\right)\right)\cdot f^{\prime }\left(x_0\right)$