Rozpoczynamy od naszkicowania wykresu funkcji danej wzorem

$y=-2x^2-4x+6$

W celu wykonania w miarę precyzyjnego rysunku znajdźmy współrzędne wierzchołka paraboli oraz miejsca zerowe.

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot 6=16+48=64$

$x_1=\frac{4-8}{-4}=-1$

$x_1=\frac{4+8}{-4}=-3$

$W=\left(p,q\right)$

$p=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{-4}=-1$

$q=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{64}{-8}=8$

$W=\left(-1,8\right)$

Rysunek do zadania:

---

Przechodzimy teraz do naszkicowania wykresu funkcji $f$ danej wzorem

$f\left(x\right)=\left|-2x^2-4x+6\right|$

W celu naszkicowania wykresu tej funkcji, należy odbić symetrycznie względem osi $Ox$, ten fragment wykres funkcji o wzorze $y=-2x^2-4x+6$, który znajduje się pod osią $Ox$ (fragment, który leży nad osią $Ox$ zostawiamy bez zmian).

Rysunek:

---

Następnie zastanawiamy się, dla jakich $m$, równanie $f\left(x\right)=m$ ma $4$ rozwiązania.

Z rysunku odczytujemy, że dla $m\in \left(0,8\right)$ równanie ma $4$ rozwiązania.

Przykładowo dla $m=2$  wygląda to w następujący sposób (rysunek poniżej):

Zwróćmy jednak uwagę, że jedno rozwiązanie ma być dodatnie, a trzy ujemne.

Znajdźmy więc punkt przecięcia wykresu tej funkcji z osią $Oy$:

$f\left(0\right)=\left|-2\cdot 0^2-4\cdot 0+6\right|=6$

Widzimy więc, że w takiej sytuacji dla $m\in \left(6,8\right)$ równanie ma $4$ rozwiązania, z czego $3$ są ujemne, a $1$ dodatnie.

Przykładowo dla $m=7$  wygląda to w następujący sposób (rysunek poniżej):

---

Odp. Dla $m\in \left(6,8\right)$ równanie $f\left(x\right)=m$ ma $4$ rozwiązania, z czego trzy są ujemne, a jedno dodatnie.