Przypomnijmy początkowo wzór skróconego mnożenia, który przyda nam się podczas dowodu. Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ prawdziwy jest wzór: ${\left(x-y\right)}^2=x^2-2xy+y^2$    - kwadrat różnicy

---

Założenia:

$a,b\in \mathbb{R}$

$a\ne 0,b\ne 0$

Teza:

$a^2+\frac{2}{9}{b}^2>\frac{2}{3}ab$

---

Dowód:

Przekształcamy w sposób równoważny nierówność z powyższej tezy.

$a^2-\frac{2}{3}ab+\frac{2}{9}{b}^2>0$

$a^2-2\cdot a\cdot \frac{1}{3}b+\frac{1}{9}{b}^2+\frac{1}{9}{b}^2>0$

$a^2-2\cdot a\cdot \frac{1}{3}b+{\left(\frac{1}{3}b\right)}^2+\frac{1}{9}{b}^2>0$

Ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy otrzymujemy, że

$a^2-2\cdot a\cdot \frac{1}{3}b+{\left(\frac{1}{3}b\right)}^2={\left(a-\frac{1}{3}b\right)}^2$

Wracając do nierówności mamy:

${\left(a-\frac{1}{3}b\right)}^2+\frac{1}{9}{b}^2>0$

Zauważamy, że

${\left(a-\frac{1}{3}b\right)}^2\ge 0$

ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Natomiast

$\frac{1}{9}{b}^2>0$

ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, natomiast $b\ne 0$, więc otrzymujemy coś dodatniego.

Wracając do nierówności:

Po lewej stronie mamy sumę liczby nieujemnej i liczby dodatniej, a więc jest to coś dodatniego.

Oznacza to, że rozpatrywana nierówność jest zawsze prawdziwa dla dowolnych, różnych od zera liczb rzeczywistych $a$ i $b$.

Co było do udowodnienia.