Długość boku trójkąta równobocznego $ABC$ oznaczmy jako $a$, a jego wysokość oznaczmy przez $h$.

Wiemy, że punkt $D$ jest w takim miejscu, że

$P_{△BCD}=3\cdot P_{△ABD}$

$\frac{1}{2}\cdot \left|CD\right|\cdot h=3\cdot \frac{1}{2}\cdot \left|DA\right|\cdot h$

$\left|CD\right|=3\cdot \left|DA\right|$

Więc skoro

$\left|AC\right|=a$

$\left|AC\right|=\left|CD\right|+|DA|$

to

$\left|CD\right|+|DA|=a$

$3\left|DA\right|+|DA|=a$

$4\left|DA\right|=a$

$\left|DA\right|=\frac{a}{4}$

$\left|CD\right|=\frac{3}{4}a$

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że

$\left|DE\right|=\frac{1}{2}a-\frac{1}{4}a=\frac{2}{4}a-\frac{1}{4}a=\frac{1}{4}a$

Przyjrzyjmy się teraz trójkątowi $BED$.

$\left|DE\right|=\frac{1}{4}a$

$\left|BE\right|=h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ponieważ jest to wysokość trójkąta równobocznego.

Obliczmy więc długość odcinka $BD$ korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

${\left|BD\right|}^2={\left(\frac{1}{4}a\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

${\left|BD\right|}^2=\frac{a^2}{16}+\frac{a^2\cdot 3}{4}$

${\left|BD\right|}^2=\frac{a^2}{16}+\frac{3a^2\cdot 4}{16}$

${\left|BD\right|}^2=\frac{a^2}{16}+\frac{12a^2}{16}$

${\left|BD\right|}^2=\frac{13a^2}{16}$

$\left|BD\right|>0$

więc

$\left|BD\right|=\frac{a\sqrt{13}}{4}$

Niech

$\left|\sphericalangle BDC\right|=\alpha$

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym $BED$dostajemy:

$\sin \alpha =\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{13}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{4}{a\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}\cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{39}}{13}$

---

Odp.: Sinus kąta $BDC$ wynosi $\frac{2\sqrt{39}}{13}$