Założenia:

$x,y\in \mathbb{Z}$

$x-y=3k$

gdzie $k\in \mathbb{Z}$

Teza:

$x^3-y^3=9l$

gdzie $l\in \mathbb{Z}$

---

Dowód:

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnice sześcianów możemy zapisać

$x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=\left(x-y\right)\left(x^2+y^2+xy\right)=\dots$

Przekształcając teraz wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dostajemy

${\left(x-y\right)}^2=x^2-2xy+y^2\text{|}+2xy$

${\left(x-y\right)}^2+2xy=x^2+y^2$

Zatem mamy

$\dots =\left(x-y\right)\left({\left(x-y\right)}^2+2xy+xy\right)=\left(x-y\right)\left({\left(x-y\right)}^2+3xy\right)=\dots$

Korzystając teraz z założeń zadania dostajemy

$\dots =3k\cdot \left({\left(3k\right)}^2+3xy\right)=3k\cdot \left(9k^2+3xy\right)=3k\cdot 3\left(3k^2+xy\right)=$

$=9k\left(3k^2+xy\right)$

gdzie

$k\left(3k^2+xy\right)\in \mathbb{Z}$

Więc otrzymaliśmy, że liczba ta jest podzielna przez $9$, co należało wykazać.