Przekształcamy równoważnie podane wyrażenie:

$81^{{\log }_{3}x}+\frac{2\cdot {\log }_2\sqrt{27}\cdot {\log }_{3}2}{3}\cdot x^2-6x=\dots$  

Korzystamy ze wzoru:

$r\cdot {\log }_{a}x={\log }_a{x}^r$  

Otrzymujemy:

$\dots ={\left(3^4\right)}^{{\log }_{3}x}+\frac{{{\log }_2\left(\sqrt{27}\right)}^2\cdot {\log }_{3}2}{3}\cdot x^2-6x=$

$=3^{4\cdot {\log }_{3}x}+\frac{{\log }_{2}27\cdot {\log }_{3}2}{3}\cdot x^2-6x=\dots$

Korzystamy ze wzoru:

${\log }_{b}c=\frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}$  

Otrzymujemy:

$\dots =3^{{\log }_3{x}^4}+\frac{\frac{{\log }_{3}27}{{\log }_{3}2}\cdot {\log }_{3}2}{3}\cdot x^2-6x=\dots$

Korzystamy ze wzoru:

$a^{{\log }_{a}c}=c$  

Otrzymujemy: 

$\dots =x^4+\frac{\frac{{\log }_{3}27}{{\cancel{{\log }_{3}2}}^1}\cdot {\cancel{{\log }_{3}2}}^1}{3}\cdot x^2-6x=$  

$=x^4+\frac{{\log }_{3}27}{3}\cdot x^2-6x=$

Korzystamy z definicji logarytmu:

$=x^4+\frac{3}{3}\cdot x^2-6x=x^4+x^2-6x$

Co należało wykazać.