Przyjmiemy oznaczenia jak na rysunku poniżej: 

Korzystając ze wzoru na długość przekątnej w sześcianie dostajemy:

$\left|BH\right|=6\sqrt{3}$  

Jeżeli odcinki $AH$ i $ED$ są przekątnymi ściany sześcianu, to są to przekątne kwadratu o boku długości $6$, zatem

$\left|AH\right|=\left|ED\right|=6\sqrt{2}$

Wobec tego

$\left|SH\right|=\frac{1}{2}\left|AH\right|=3\sqrt{2}$

Wiemy, że:

$\left|SK\right|=\frac{1}{2}\left|AE\right|=3$

$\left|AK\right|=\frac{1}{2}\left|AD\right|=3$

---

Wiemy, że trójkąt $ABK$ jest trójkątem prostokątnym, zatem możemy wyznaczyć długość odcinka $BK$ korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

${\left|AB\right|}^2+{\left|AK\right|}^2={\left|BK\right|}^2$

$6^2+3^2={\left|BK\right|}^2$

${\left|BK\right|}^2=36+9$

${\left|BK\right|}^2=45$

$\left|BK\right|>0$

więc

$\left|BK\right|=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$

---

Wiemy, że trójkąt $KBS$ jest trójkątem prostokątnym, więc korzystając z twierdzenia Pitagorasa dostajemy:

${\left|BK\right|}^2+{\left|SK\right|}^2={\left|BS\right|}^2$

${\left(3\sqrt{5}\right)}^2+3^2={\left|BS\right|}^2$

${\left|BS\right|}^2=45+9$

${\left|BS\right|}^2=54$

$\left|BS\right|>0$

więc

$\left|BS\right|=\sqrt{54}=\sqrt{9\cdot 6}=3\sqrt{6}$

---

Niech $\alpha =\left|\sphericalangle AHB\right|$  . Jest to kąt ostry.

Korzystając z twierdzenia cosinusów dostajemy:

${\left|BS\right|}^2={\left|SH\right|}^2+{\left|BH\right|}^2-2\cdot \left|SH\right|\cdot \left|BH\right|\cdot \cos \alpha$

${\left(3\sqrt{6}\right)}^2={\left(3\sqrt{2}\right)}^2+{\left(6\sqrt{3}\right)}^2-2\cdot 3\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{3}\cdot \cos \alpha$

$54=18+108-36\sqrt{6}\cdot \cos \alpha$

$36\sqrt{6}\cos \alpha =72\mid :36\sqrt{6}$

$\cos \alpha =\frac{72}{36\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}\cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$      

---

Korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczamy sinus kąta 𝛼:

${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$

${\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)}^2$

${\sin }^2\alpha =1-\frac{6}{9}$

${\sin }^2\alpha =\frac{3}{9}$

$\sin \alpha >0$

więc

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$

---

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta $BHS$ dostajemy:

$P_{BHS}=\frac{1}{2}\cdot \left|BH\right|\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\cdot h=3\sqrt{3}h$

oraz

$P_{BHS}=\frac{1}{2}\cdot \left|SH\right|\cdot \left|BH\right|\cdot \sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=$

$=3\sqrt{18}=3\sqrt{9\cdot 2}=3\cdot 3\sqrt{2}=9\sqrt{2}$   

Wobec tego:

$3\sqrt{3}h=9\sqrt{2}\mid :3\sqrt{3}$

$h=\frac{9\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{6}}{3}=\underline{\underline{\sqrt{6}}}$   

---

Odp.: Szukana wysokość trójkąta $SBH$ ma długość $\sqrt{6}$.