Rozwiążemy układ:

$\{\begin{array}{l}x+y=4\\ x^3-x^{2}y\le x{y}^2-y^3\end{array}$  

Z równania wyznaczamy $x$:

$\{\begin{array}{l}x=4-y\\ x^3-x^{2}y\le x{y}^2-y^3\end{array}$  

Podstawiamy $4-y$ w miejsce $x$ do nierówności i wyznaczamy $y$ :

${\left(4-y\right)}^3-{\left(4-y\right)}^2\cdot y\le \left(4-y\right)\cdot y^2-y^3$  

${\left(4-y\right)}^2\cdot \left(4-y-y\right)\le y^2\cdot \left(4-y-y\right)$  

${\left(4-y\right)}^2\cdot \left(4-2y\right)\le y^2\cdot \left(4-2y\right)$  

${\left(4-y\right)}^2\cdot \left(4-2y\right)-y^2\cdot \left(4-2y\right)\le 0$  

$\left(4-2y\right)\cdot \left[{\left(4-y\right)}^2-y^2\right]\le 0$  

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

$\left(4-2y\right)\cdot \left(4^2-2\cdot 4\cdot y+y^2-y^2\right)\le 0$  

$\left(4-2y\right)\cdot \left(16-8y+\cancel{y^2}-\cancel{y^2}\right)\le 0$  

$\left(4-2y\right)\cdot \left(16-8y\right)\le 0$  

$2\cdot \left(2-y\right)\cdot 8\cdot \left(2-y\right)\le 0$  

$16\cdot {\left(2-y\right)}^2\le 0\text{|}:16$  

${\left(2-y\right)}^2\le 0$  

Przypomnijmy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną (dodatnią lub równą zero).

To oznacza, że powyższa nierówność jest spełniona, gdy:

$2-y=0$  

A stąd:

$y=2$

Zatem:

$\{\begin{array}{c}x=4-y\\ y=2\end{array}$

Podstawiamy $2$ w miejsce $y$ do pierwszego równania i obliczamy $x$:

$\{\begin{array}{l}x=4-2\\ y=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{c}x=2\\ y=2\end{array}$

Pokazaliśmy, że $x=2$  oraz $y=2$.

Co należało wykazać.