Twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie Dany jest trójkąt $ABC$ i dwusieczna kąta wewnętrznego, poprowadzona z wierzchołka $C$, przecinająca bok $AB$ w punkcie $D$. Wtedy $\frac{\left|AD\right|}{\left|BD\right|}=\frac{\left|AC\right|}{\left|BC\right|}$

---

Trójkąt $ABC$ jest prostokątny i równoramienny, zatem jest to trójkąt o kątach

$45^{\circ },45^{\circ },90^{\circ }$

Dwusieczna kąta $ACB$ przecina kąt o mierze $45^{\circ }$ na dwie równe części.

Zaznaczmy te omawiane kąty na rysunku.

Rysunek do zadania:

Na powyższym rysunku została zaznaczona również miara kąta $EDB$.

Widzimy również, że

$\left|\sphericalangle DEC\right|=90^{\circ }$

---

Zdanie pierwsze:

Trójkąt $ADC$ i trójkąt $CED$ są przystające, ponieważ 

• odcinek $CD$ jest przeciwprostokątną jednego i drugiego trójkąta.
• $\left|\sphericalangle ACD\right|=\left|\sphericalangle ECD\right|=22,5^{\circ }$
• $\left|\sphericalangle ADC\right|=\left|\sphericalangle EDC\right|=90^{\circ }-22,5^{\circ }$

Z zasady kąt-bok-kąt omawiane trójkąty są przystające.

Zdanie w tabeli jest prawdziwe. Należy zaznaczyć odpowiedź P.

---

Zdanie drugie:

Niech

$\left|AC\right|=\left|AB\right|=a$

Wtedy

$\left|CB\right|=a\sqrt{2}$

Z twierdzenia o dwusiecznej otrzymujemy:

$\frac{\left|AC\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|AD\right|}{\left|DB\right|}$

$\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\left|AD\right|}{\left|DB\right|}$

$a\cdot \left|DB\right|=a\sqrt{2}\cdot \left|AD\right|$

$\left|DB\right|=\sqrt{2}\cdot \left|AD\right|$

Zauważamy, że

$\left|DB\right|=\left|AB\right|-\left|AD\right|$

$\left|AB\right|-\left|AD\right|=\sqrt{2}\cdot \left|AD\right|$

$\left|AB\right|=\sqrt{2}\cdot \left|AD\right|+\left|AD\right|$

$\left|AB\right|=\left|AD\right|\cdot \left(\sqrt{2}+1\right)$

$1=\frac{\left|AD\right|}{\left|AB\right|}\cdot \left(\sqrt{2}+1\right)$

$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\left|AD\right|}{\left|AB\right|}$

Zastosujemy teraz usuwanie niewymierności z mianownika z wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$\frac{\left|AD\right|}{\left|AB\right|}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}\cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$

Zdanie w tabeli jest prawdziwe. Należy zaznaczyć odpowiedź P.

---

Odp. P, P