Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ zachodzi wzór: ${\left(x+y\right)}^2=x^2+2xy+y^2$    - kwadrat sumy

---

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy dostajemy:

${\left(2n+1\right)}^2-1=4n^2+4n+1-1=4n^2+4n=4n\left(n+1\right),n\ge 1$

Skoro $n$ jest liczbą naturalną dodatnią, to iloczyn $n\left(n+1\right)$ jest iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych.

Pamiętamy, że wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych jedna z nich zawsze będzie liczbą parzystą, a więc jest podzielna przez $2$.
Wobec tego wnioskujemy, że iloczyn $n\left(n+1_{}\right)$ jest liczbą podzielną przez $2$.

$n\left(n+1\right)=2\cdot k$ dla $k\in \mathbb{N}$

$4n\left(n+1\right)=4\cdot 2k=8k$

Więc $4n\left(n+1\right)$ jest liczbą podzielną przez $8$.

Zatem liczba ${\left(2n+1\right)}^2-1$ jest podzielna przez $8$.

Co należało wykazać.