Ciąg geometryczny Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie $q\ne 1$ to $S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$

---

17.1

Zapiszmy, ile metrów pokonał w sumie balon w pierwszych kilku minutach lotu:

$1\text{min}\to 6\text{m}$

$2\text{min}\to 6\text{m}+\frac{6}{3}\text{m}=6\text{m}+2\text{m}=8\text{m}$

$3\text{min}\to 6\text{m}+2\text{m}+\frac{2}{3}\text{m}=8\frac{2}{3}\text{m}$

itd.

Zauważmy, że po drugiej minucie lotu balon wzniósł się na wysokość $8\text{m}$.

Odp. B

---

17.2

Zapiszmy jeszcze, ile metrów dodatkowo pokonuje balon w każdej minucie lotu

$1\text{min}\to 6\text{m}$

$2\text{min}\to \text{dodatkowo }\frac{6}{3}\text{m}=2\text{m}$

$3\text{min}\to \text{dodatkowo }\frac{2}{3}\text{m}$

$4\text{min}\to \text{dodatkowo }\frac{2}{9}\text{m}$

itd.

Zauważmy, że wysokość (w metrach) pokonana przez balon dodatkowo w kolejnych minutach lotu tworzy ciąg geometryczny, w którym

$a_1=6$

$q=\frac{1}{3}$

Wróćmy teraz do odległości jaką w sumie pokona balon po kolejnych minutach lotu:

$1\text{min}\to 6\text{m}=a_1$

$2\text{min}\to 6\text{m}+\frac{6}{3}\text{m}=a_1+a_2$

$3\text{min}\to 6\text{m}+2\text{m}+\frac{2}{3}\text{m}=a_1+a_2+a_3$

...

$10\text{min}\to a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{10}=S_{10}$

Zauważmy, że w celu obliczenia odległości pokonanej przez balon  po $10$ minutach lotu, wystarczy obliczyć sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego opisanego wyżej.

$S_{10}=6\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{10}}{1-\frac{1}{3}}=6\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{10}}{\frac{2}{3}}=$

$=6\cdot \frac{3}{2}\cdot \left(1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{10}\right)=9\cdot \left(1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{10}\right)$

Odp. F