Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego

Niech P=(x,y) będzie dowolnym punktem leżącym na ramieniu końcowym kąta 𝛼 ∈ [0°, 180°] różnym od początku układu współrzędnych. Wtedy $\sin \alpha =\frac{y}{r}$   $\cos \alpha =\frac{x}{r}$   $\text{tg}\alpha =\frac{y}{x},x\ne 0$     gdzie $r=\sqrt{x^2+y^2}$

---

a)

Wiemy, że do ramienia końcowego kąta 𝛼 należy punkt P=(-3,4)

Sporządzamy rysunek pomocniczy.

Rysunek:

Współrzędne punktu P to:

$x=-3,y=4$  

Obliczamy r:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$  

Wyznaczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta 𝛼:

$\sin \alpha =\frac{y}{r}=\underline{\underline{\frac{4}{5}}}$

$\cos \alpha =\frac{x}{r}=\underline{\underline{-\frac{3}{5}}}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{y}{x}=\frac{4}{-3}=\underline{\underline{-\frac{4}{3}}}$  

---

b)

Wiemy, że do ramienia końcowego kąta 𝛼 należy punkt P=(-2,4)

Sporządzamy rysunek pomocniczy.

Rysunek:

Współrzędne punktu P to:

$x=-2,y=4$  

Obliczamy r:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$  

Wyznaczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta 𝛼:

$\sin \alpha =\frac{y}{r}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\underline{\underline{\frac{2\sqrt{5}}{5}}}$

$\cos \alpha =\frac{y}{r}=\frac{-2}{2\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\underline{\underline{-\frac{\sqrt{5}}{5}}}$

$\text{tg}\alpha =\frac{y}{x}=\frac{4}{-2}=\underline{\underline{-2}}$  

---

c)

Wiemy, że do ramienia końcowego kąta 𝛼 należy punkt P=(-6,8)

Sporządzamy rysunek pomocniczy.

Rysunek:

Współrzędne punktu P to:

$x=-6,y=8$  

Obliczamy r:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{\left(-6\right)}^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$  

Wyznaczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta 𝛼:

$\sin \alpha =\frac{y}{r}=\frac{8}{10}=\underline{\underline{\frac{4}{5}}}$

$\cos \alpha =\frac{x}{r}=\frac{-6}{10}=\underline{\underline{-\frac{3}{5}}}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{y}{x}=\frac{8}{-6}=\underline{\underline{-\frac{4}{3}}}$  

---

d)

Wiemy, że do ramienia końcowego kąta 𝛼 należy punkt P=(-6,0)

Sporządzamy rysunek pomocniczy.

Rysunek:

Współrzędne punktu P to:

$x=-6,y=0$  

Obliczamy r:

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{\left(-6\right)}^2+0^2}=\sqrt{36+0}=6$  

Wyznaczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta 𝛼:

$\sin \alpha =\frac{y}{r}=\frac{0}{6}=\underline{\underline{0}}$

$\cos \alpha =\frac{x}{r}=\frac{-6}{6}=\underline{\underline{-1}}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{y}{x}=\frac{0}{-6}=\underline{\underline{0}}$