a)

Mamy dane:

$c=15$  

$\sin \alpha =\frac{3}{5}$  

Przyjmujemy dane jak na poniższym rysunku.

Rysunek:

Korzystając z definicji funkcji sinus w trójkącie prostokątnym, otrzymujemy:

$\sin \alpha =\frac{a}{c}=\frac{a}{15}$  

Zatem

$\frac{a}{15}=\frac{3}{5}$  

$a\cdot 5=3\cdot 15$  

$5a=45\mid :5$  

$a=\underline{\underline{9}}$  

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa i obliczamy długość trzeciego boku.

$9^2+b^2={15}^2$  

$81+b^2=225$  

$b^2=225-81$  

$b^2=144,b>0$  

Stąd

$b=12$  

Odp.: 

$a=\underline{\underline{9}},b=\underline{\underline{12}}$

---

b)

Mamy dane:

$a=14$  

$\sin \beta =\frac{24}{5}$  

Przyjmujemy dane jak na poniższym rysunku.

Rysunek:

Korzystając z definicji funkcji sinus w trójkącie prostokątnym, otrzymujemy:

$\sin \beta =\frac{b}{c}$  

Zatem

$\frac{b}{c}=\frac{24}{25}\mid \cdot c$  

$b=\frac{24}{25}c$  

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy:

${14}^2+b^2=c^2$  

$196+{\left(\frac{24}{25}c\right)}^2=c^2$   

$196+\frac{576}{625}{c}^2=c^2$  

$196=c^2-\frac{576}{625}{c}^2$  

$196=\frac{625-576}{625}{c}^2$  

Zatem

$\frac{49}{625}{c}^2=196\mid \cdot \frac{625}{49}$  

$c^2={\sout{196}}^4\cdot \frac{625}{{\sout{49}}_1}$  

$c^2=2500,c>0$  

Stąd

$c=\underline{\underline{50}}$   

Mając c, możemy obliczyć długość b: 

$b=\frac{24}{25}c=\frac{24}{{\sout{25}}_1}\cdot {\sout{50}}^2=\underline{\underline{48}}$  

Odp.:

$b=\underline{\underline{48}},c=\underline{\underline{50}}$

---

c)

Mamy dane:

$b=\sqrt{6}+\sqrt{2}$  

$\text{tg}\beta =2+\sqrt{3}$  

Przyjmujemy dane jak na poniższym rysunku.

Rysunek:

Korzystając z definicji funkcji tangens w trójkącie prostokątnym, otrzymujemy:

$\text{tg}\beta =\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{a}$  

Zatem

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{a}=2+\sqrt{3}\mid \cdot a$  

$\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)=\left(2+\sqrt{3}\right)a$  

$\left(2+\sqrt{3}\right)a=\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\mid :\left(2+\sqrt{3}\right)$  

$a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}$  

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka i otrzymujemy:

$a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}\cdot \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=$

$=\frac{2\sqrt{6}-\sqrt{18}+2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4-3}=\sqrt{6}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=\underline{\underline{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}$   

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość przeciwprostokątnej.

${\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}^2=c^2$

${\left(\sqrt{6}\right)}^2-2\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2+2\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2=c^2$  

$6-\cancel{2\sqrt{12}}+2+6+\cancel{2\sqrt{12}}+2=c^2$  

$16=c^2$  

$c^2=16,c>0$   

Stąd

$c=\underline{\underline{4}}$  

Odp.:

$a=\underline{\underline{\sqrt{6}-\sqrt{2}}},c=\underline{\underline{4}}$

---

d)

Mamy dane:

$c=\sqrt{13}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{3}{2}$  

Przyjmujemy dane jak na poniższym rysunku.

Rysunek:

Korzystając z definicji funkcji tangens w trójkącie prostokątnym, otrzymujemy:

$\text{tg}\alpha =\frac{a}{b}$  

Zatem

$\frac{a}{b}=\frac{3}{2}\mid \cdot b$   

$a=\frac{3}{2}b$  

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

${\left(\frac{3}{2}b\right)}^2+b^2={\left(\sqrt{13}\right)}^2$

$\frac{9}{4}{b}^2+b^2=13\mid \cdot 4$  

$9b^2+4b^2=52$  

$13b^2=52\mid :13$  

$b^2=4,b>0$  

Stąd

$b=\underline{\underline{2}}$  

Mając b, możemy obliczyć długość a.

$a=\frac{3}{2}b=\frac{3}{2}\cdot 2=\underline{\underline{3}}$

Odp.:

$a=\underline{\underline{3}},b=\underline{\underline{2}}$