Przypomnijmy, że miejscem zerowym funkcji   $f:X\to \mathbb{R}$    nazywamy taki argument x, dla którego   $f\left(x\right)=0$ Dla    $a>0$   mamy: $\left|x\right|<a\iff x<a\wedge x>-a$    $\left|x\right|>a\iff x>a\vee x<-a$

---

a)

$f\left(x\right)=\sqrt{\left|x-2\right|-1}$

Wyznaczamy dziedzinę funkcji.  Zakładamy, że: 

$\left|x-2\right|-1\ge 0$  

$\left|x-2\right|\ge 1$  

Zatem

$x-2\ge 1\vee x-2\le -1$  

$x\ge 1+2\vee x\le -1+2$  

$x\ge 3\vee x\le 1$  

Zatem

$x\in \left(-\infty ;1\right]\cup \left[3;\infty \right)$  

Dziedziną funkcji f jest zbiór:

$D=\left(-\infty ;1\right]\cup \left[3;\infty \right)$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f:

$f\left(x\right)=0$

  $\sqrt{\left|x-2\right|-1}=0$  

$\left|x-2\right|-1=0$  

$\left|x-2\right|=1$  

Stąd

$x-2=1\vee x-2=-1$  

$x=1+2\vee x=-1+2$  

$x=3\in D\vee x=1\in D$

Zatem 

$f\left(3\right)=f\left(1\right)=0$   

To oznacza, że miejscami zerowymi są liczby 1, 3.

---

b)

$f\left(x\right)=\sqrt{4-\left|x+2\right|}$

Wyznaczamy dziedzinę funkcji.  Zakładamy, że

$4-\left|x+2\right|\ge 0$  

$-\left|x+2\right|\ge -4\mid \cdot \left(-1\right)$  

$\left|x+2\right|\le 4$  

Zatem

$x+2\le 4\wedge x+2\ge -4$  

$x\le 4-2\wedge x\ge -4-2$  

$x\le 2\wedge x\ge -6$  

Stąd wynika, że

$x\in \left[-6;2\right]$  

Dziedziną funkcji f jest zbiór:

$D=\left[-6;2\right]$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji f:

$f\left(x\right)=0$

  $\sqrt{4-\left|x+2\right|}=0$  

$4-\left|x+2\right|=0$  

$\left|x+2\right|=4$  

Stąd

$x+2=4\vee x+2=-4$  

$x=4-2\vee x=-4-2$  

$x=2\in D\vee x=-6\in D$

Zatem 

$f\left(-6\right)=f\left(2\right)=0$   

To oznacza, że miejscami zerowymi są liczby -6, 2.