Skoro wszystkie ściany boczne ostrosłupa są identycznymi trójkątami równoramiennymi, to ten ostrosłup musi być prawidłowy.

Rysunek pomocniczy:

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wyraża się wzorem:

$P_c=P_p+P_b$

Obliczmy pole podstawy. W podstawie tego ostrosłupa jest kwadrat, zatem:

$P_p={\left(6\sqrt{3}\right)}^2=36\cdot 3=108{\text{[cm}}^2\text{]}$

Na pole boczne składa się pole czterech przystających trójkątów równoramiennych. Aby obliczyć ich pola, musimy znaleźć długość wysokości $h_b$ jednego z tych trójkątów.

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

$h_b^2+{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2=d^2$

$h_b^2+{\left(\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\right)}^2={\left(5\sqrt{3}\right)}^2$

$h_b^2+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2={\left(5\sqrt{3}\right)}^2$

$h_b^2+9\cdot 3=25\cdot 3$

$h_b^2+27=75|-27$

$h_b^2=48|\sqrt{},h_b>0$

$h_b=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}\text{[cm]}$

Obliczmy pole boczne tego ostrosłupa:

$P_b=4\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot h_b=4\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}=2\cdot 6\cdot 4\cdot 3=144{\text{[cm}}^2\text{]}$

Ostatecznie, pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe:

$P_c=P_p+P_b=108{\mathrm{cm}}^2+144{\mathrm{cm}}^2=\underline{\underline{252{\mathrm{cm}}^2}}$