Oznaczmy:

$x$ - nagroda za zdobycie pierwszego miejsca

$x-300$ - nagroda za zdobycie drugiego miejsca (jest o $300\text{zł}$ mniejsza niż nagroda za pierwsze miejsce)

$\frac{2}{3}\cdot \left(x-300\right)=\frac{2}{3}x-200$ - nagroda za zdobycie trzeciego miejsca (stanowi $\frac{2}{3}$ nagrody za drugie miejsce)

Z treści zadania wiemy, że suma nagród za zdobycie drugiego i trzeciego miejsca była równa kwocie nagrody za zajęcie pierwszego miejsca. Możemy zatem utworzyć równanie:

$x-300+\frac{2}{3}x-200=x$

$1\frac{2}{3}x-500=x|-x+500$

$\frac{2}{3}x=500|\cdot \frac{3}{2}$

$x={\cancel{500}}^{250}\cdot \frac{3}{{\cancel{2}}_1}=250\cdot 3=750\text{[zł]}$

Wiemy już, że nagroda za pierwsze miejsce jest równa $750\text{zł}$. Obliczmy jeszcze, ile wynoszą nagrody za zdobycie niższych miejsc.

Z drugie miejsce otrzymamy:

$x-300=750-300=450\text{[zł]}$

Za trzecie miejsce otrzymamy:

$\frac{2}{3}x-200=\frac{2}{{\cancel{3}}_1}\cdot {\cancel{750}}^{250}-200=2\cdot 250-200=500-200=300\text{[zł]}$

Odp. Nagrody za zdobycie pierwszych trzech miejsc wynoszą odpowiednio $750\text{zł}$, $450\text{zł}$, $300\text{zł}$.