Przykład 3. Przedstaw poniższe wyrażenia w postaci iloczynu wyłączając wspólny czynnik przed nawias.

$\left(3a-2\right)\left(a-1\right)-2a\left(a-1\right)$

$\left(3a-2\right)\underline{\left(a-1\right)}-2a\underline{\left(a-1\right)}=\underline{\left(a-1\right)}\left(3a-2-2a\right)=\left(a-1\right)\left(a-2\right)$

---

Przykład 1. Wyznacz dziedzinę podanych wyrażeń i zapisz je w prostszej postaci wykonując odpowiednie działania:

a) $\frac{2}{x-3}+6$

Dziedzina:

$x-3\ne 0$

$x\ne 3$

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{3\right\}$

$\frac{2}{x-3}+6=\frac{2}{x-3}+\frac{6\left(x-3\right)}{x-3}=\frac{2+6x-18}{x-3}=\frac{6x-16}{x-3}$

---

Zadanie 1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wyrażenia $\frac{2}{x+1}-2$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne -1$ można zapisać w postaci

A. $-\frac{2x}{x+1}$                          B. $\frac{4-2x}{x+1}$                           C. $\frac{2-2x}{x+2}$                           D. $\frac{4}{x+1}$

Rozwiązanie

$\frac{2}{x+1}-2=\frac{2}{x+1}-\frac{2\left(x+1\right)}{x+1}=\frac{2}{x+1}-\frac{2x+2}{x+1}=$

$=\frac{2-\left(2x+2\right)}{x+1}=\frac{2-2x-2}{x+1}=-\frac{2x}{x+1}$

---

Zadanie 2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne -2$ i $x\ne 5$ wyrażenie $\frac{x+1}{x+2}+\frac{4}{x-5}$ można przekształcić równoważnie do wyrażenia

A. $\frac{x^2-3}{x^2+3x-10}$                    B. $\frac{x+5}{x^2-10}$                     C. $\frac{x^2+3}{x^2-3x-10}$                      D.$\frac{x+12}{x+2}$

Rozwiązanie

$\frac{x+1}{x+2}+\frac{4}{x-5}=\frac{\left(x+1\right)\left(x-5\right)}{\left(x+2\right)\left(x-5\right)}+\frac{4\left(x+2\right)}{\left(x-5\right)\left(x+2\right)}=$

$=\frac{x^2-5x+x-5}{\left(x+2\right)\left(x-5\right)}+\frac{4x+8}{\left(x-5\right)\left(x+2\right)}=\frac{x^2-4x-5+4x+8}{\left(x-5\right)\left(x+2\right)}=$

$=\frac{x^2+3}{\left(x-5\right)\left(x+2\right)}=\frac{x^2+3}{x^2+2x-5x-10}=\frac{x^2+3}{x^2-3x-10}$

Zad.2 W kolejnym zadaniu mamy podaną sumę dwóch ułamków algebraicznych i musimy przekształcić ją do prostszej postaci. Dziedzina wyrażenia określona jest już w poleceniu, więc nie musimy jej wyznaczać. 

Pamiętamy, że musimy rozpocząć od sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika, żeby móc je do siebie dodać. Początkowo rozszerzamy więc podane ułamki. Pierwszy przez x odjąć 5 [podświetlić x-5 w liczniku i mianowniku], a drugi przez x dodać 2 [podświetlić x+2 w liczniku i mianowniku]. W pierwszym ułamku w liczniku mnożymy sumy algebraiczne, a w drugim ułamku mnożymy czwórkę przez x i 2. Następnie zapisujemy dodawania na jednej kresce ułamkowej, dlatego, że mianowniki ułamków są już takie same. Dalej redukujemy w liczniku wyrazy podobne i dostajemy x do drugiej dodać 3. Nie mamy takiej odpowiedzi, a dodatkowo widzimy, że licznik tego ułamka jest nierozkładalny, więc nie skrócimy w żaden sposób tego ułamka. W mianowniku możemy jednak pomnożyć jeszcze przez siebie sumy algebraiczne. Następnie redukujemy wyrazy podobne i na końcu dostajemy x do potęgi drugiej dodać 3 przez  [podświetlenie wyniku] x do drugiej odjąć 3x odjąć 10. Widzimy, że jest to odpowiedź C.  [zaznaczenie C]

---

Odejmowanie ułamków algebraicznych

Aby dodawać lub odejmować ułamki o różnych mianownikach, trzeba rozpocząć od sprowadzenia ich do wspólnego mianownika.

 $\frac{x}{x-1}-\frac{3}{x+3}$

Dziedzina: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-3,1\right\}$.

$\frac{x}{x-1}-\frac{3}{x+3}=$ 

$=\frac{x\left(x+3\right)}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}-\frac{3\left(x-1\right)}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}=$

$=\frac{x^2+3x-3\left(x-1\right)}{\left(x^{}-1\right)\left(x+3\right)}=\frac{x^2+3x-3x+3}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}=$

$=\frac{x^2+3}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}$

---

Zadanie 4. Na rysunku obok w kartezjańskim
układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ przedstawiono
fragment wykresu funkcji liniowej $f$ o wzorze
$f\left(x\right)=-2x+b$. Zaznaczone na wykresie
punkty mają całkowite współrzędne.
Wiadomo, że wykres funkcji $g$ jest
symetryczny do wykresu funkcji $f$ względem
początku  układu współrzędnych.  

 

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe,
lub F, jeśli jest fałszywe.

Funkcja $g$ dana jest wzorem $g\left(x\right)=\frac{1}{2}x-3$.	P	F
Wykresy funkcji $f$ i $g$ są prostopadłe.	P	F

Rozwiązanie

Zdanie pierwsze

$f\left(x\right)=-2x+b$

$b=3$

$f\left(x\right)=-2x+3$

$g\left(x\right)=-f\left(-x\right)=-\left(-2\cdot \left(-x\right)+3\right)=-\left(2x+3\right)=-2x-3$

Zdanie jest fałszywe.

Zdanie drugie

$f\left(x\right)=-2x+3,g\left(x\right)=-2x-3$

Współczynniki kierunkowe funkcji $f$ i $g$ są takie same, zatem wykresy tych funkcji są równoległe.

Zdanie jest fałszywe.