Wiemy, że kąty przy dłuższej podstawie trapezu mają miary $30^{\circ }$ i $45^{\circ }.$

KROK 1.  Uzupełniamy rysunek o dane podane w treści zadania.

KROK 2. Prowadzimy z kątów rozwartych wysokości trapezu. Zauważmy, że te wysokości tworzą wraz z ramionami dwa trójkąty prostokątne. Jeden o kątach ${45^{\circ },45^{\circ },90}^{\circ }$ oraz drugi o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }.$

KROK 3. Obliczamy brakujące długości boków trójkąta.

Zauważmy, że korzystając z własności długości boków w trójkącie o kątach $45^{\circ },45^{\circ },90^{\circ }$ otrzymujemy w trójkącie $AED:$

$\left|AE\right|=\left|ED\right|=4\text{cm}$

$\left|AD\right|=\left|ED\right|\sqrt{2}=4\sqrt{2}\text{cm}$

Z kolei z własności długości boków w trójkącie o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$ otrzymujemy

$\left|BC\right|=2\cdot \left|CF\right|=2\cdot 4\text{cm}=8\text{cm}$

$\left|BF\right|=\frac{\left|BC\right|\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}\text{cm}=4\sqrt{3}\text{cm}$

Uzupełniamy rysunek.

KROK 4.  Obliczamy długość podstawy $AB$ trapezu. Zauważmy, że odcinek $EF$ ma taką samą długość jak odcinek $CD.$

Podstawa $AB$ ma długość

$\left|AB\right|=\left|AE\right|+\left|EF\right|+\left|FB\right|=4+3+4\sqrt{3}=\underline{\underline{\left(7+4\sqrt{3}\right)}}\left[\text{cm}\right]$

---

Odp. Podstawa $AB$ trapezu ma długość $\left(7+4\sqrt{3}\right)\text{cm}.$ Ramiona trapezu mają długości $\left|AD\right|=4\sqrt{2}\text{cm},\left|BC\right|=8\text{cm}.$