W trapezie prostokątnym krótsze ramię jest jednocześnie wysokością tego trapezu. Zauważmy, że

$3<\sqrt{10}$

co oznacza, że wysokość trapezu ma długość $3.$

Jedna z podstaw trapezu (nie wiemy, która) ma długość $4.$ Rozważamy dwa przypadki:

1. przypadek: 

Krótsza podstawa ma długość $4.$

Sporządzamy rysunek pomocniczy i przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

 

Zauważmy, że wysokość trapezu poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli dłuższą podstawę na dwa odcinki. Jeden z nich ma taką samą długość, jak krótsza podstawa trapezu, czyli $4.$ Aby obliczyć długość krótszej przekątnej (oznaczona literą $d$ na rysunku), korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w zaznaczonym trójkącie prostokątnym,

$3^2+4^2=d^2$

$9+16=d^2$

$25=d^2$

$d^2=25|\sqrt{},d>0$

$d=\sqrt{25}=5$

Odp. Krótsza przekątna trapezu ma długość $5.$

---

2. przypadek:

Dłuższa podstawa ma długość $4.$

Sporządzamy rysunek pomocniczy i przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Obliczamy najpierw długość $x.$ Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w zaznaczonym trójkącie prostokatnym.

$x^2+3^2={\left(\sqrt{10}\right)}^2$

$x^2+9=10|-9$

$x^2=1|\sqrt{},x>0$

$x=1$

Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli dłuższą podstawę na dwa odcinki. Dłuższa podstawa ma długość $4,$ jeden z odcinków ma długość $1,$ więc drugi odcinek ma długość $3.$

Spójrzmy na rysunek:

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w zaznaczonym trójkącie prostokątnym i obliczamy długość krótszej przekątnej trapezu.

$3^2+3^2=d^2$

$9+9=d^2$

$18=d^2$

$d^2=18|\sqrt{},d>0$

$d=\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\underline{\underline{3\sqrt{2}}}$

Odp. Krótsza przekątna trapezu ma długość $3\sqrt{2}.$