Rozważamy równanie

$\left(2x-3\right)\cdot \frac{1}{2}=3x+\square$

Sprowadźmy do najprostszej postaci lewą stronę równania.

$L=\left(2x-3\right)\cdot \frac{1}{2}=2x\cdot \frac{1}{2}-3\cdot \frac{1}{2}=x-\frac{3}{2}$

Wobec tego równanie przyjmuje postać:

$x-\frac{3}{2}=3x+\square$

---

a)

Równanie będzie miało jedno rozwiązanie, gdy po jego lewej i prawej stronie przy niewiadomej będzie inny współczynnik. Zauważmy, że po lewej stronie mamy $x,$ a po prawej stronie równania jest $3x.$ To oznacza, że aby równanie miało jedno rozwiązanie możemy wstawić np. dowolną liczbę. Wobec tego przyjmijmy, że

$\square =0$

Rozwiążmy równanie dla $\square =0.$

$x-\frac{3}{2}=3x+0$

$x-3x=\frac{3}{2}$

$-2x=\frac{3}{2}|:\left(-2\right)$

$x=-\frac{3}{4}$

Zatem równanie ma jedno rozwiązanie.

Odp. W miejsce $\square$ możemy wstawić np. $0.$

---

b)

Aby równanie nie miało rozwiązania, to strony równania muszą różnić się wyłącznie liczbą, które występują po obu jego stronach. Stąd mamy, że równanie

$x-\frac{3}{2}=3x+\square$

nie ma rozwiązań. gdy 

$\square =-2x$

Sprawdzenie:

$x-\frac{3}{2}=3x-2x$

$x-\frac{3}{2}=x$

$x-x=\frac{3}{2}$

$0\cdot x=\frac{3}{2}$

Nie istnieje liczba, która pomnożona przez $0$ da w wyniku $\frac{3}{2}.$ To oznacza, że  dane równanie nie ma rozwiązania.

Odp. W miejsce $\square$ należy wstawić np. $-2x.$

---

c)

Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy obie strony równania są równe, niezależenie od wartości zmiennej $x.$

Spójrzmy na równanie:

$x-\frac{3}{2}=3x+\square$

To oznacza, że

$x-\frac{3}{2}-3x=\square$

Czyli

$\square =-2x-\frac{3}{2}$

Sprawdźmy, czy wtedy równanie będzie miało nieskończenie wiele rozwiązań.

$x-\frac{3}{2}=3x-2x-\frac{3}{2}$

$x-\frac{3}{2}=x-\frac{3}{2}$

$x-x=-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}$

$0\cdot x=0$

Dowolna liczba pomnożona przez $0$ daje w wyniku $0.$ To oznacza, że równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Odp. W miejsce $\square$ należy wstawić $-2x-\frac{3}{2}.$