Z treści zadania wiemy, że długości przyprostokątnych są kolejnymi liczbami naturalnymi. Możemy je zatem oznaczyć jako:

$n$ oraz $n+1$, gdzie $n$ oznacza pewną liczbę naturalną. 

Pomocniczy rysunek:

Zauważmy, że w trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest podstawą, a druga wysokością opuszczoną na tę podstawę. Możemy zatem zapisać, że:

$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{n\cdot \left(n+1\right)}{2}$

Z zadania wiemy, że pole tego trójkąta jest równe $6$, zatem:

$6=\frac{n\cdot \left(n+1\right)}{2}$

Pomnóżmy to równanie obustronnie przez $2$. Otrzymujemy:

$n\cdot \left(n+1\right)=12$

Aby znaleźć rozwiązanie tego równania, sprawdzimy, która (bądź które) z kolejnych liczb naturalnych będą spełniały dane równanie.

• dla $n=1$ mamy:

$1\cdot \left(1+1\right)=1\cdot 2=2\ne 12$

Liczba $1$ nie spełnia tego równania.

• dla $n=2$ mamy:

$2\cdot \left(2+1\right)=2\cdot 3=6\ne 12$

Liczba $2$ nie spełnia tego równania.

• dla $n=3$ mamy:

$3\cdot \left(3+1\right)=3\cdot 4=12$

Liczba $3$ spełnia dane równanie.

• dla $n=4$ mamy:

$4\cdot \left(4+1\right)=4\cdot 5=20\ne 12$

Liczba $4$ i każda większa od $4$ nie spełnia danego równania (iloczyn będzie coraz większy).

Wniosek:

Jedynym $n$ spełniającym równanie jest liczba $n=3$.

Długości przyprostokątnych tego trójkąta wynoszą zatem:

$n=3$ oraz $n+1=4$

Pozostało jedynie wyznaczyć długość przeciwprostokątnej trójkąta. Oznaczmy ją przez $x$ i skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa. Mamy:

$3^2+4^2=x^2$

$9+16=x^2$

$x^2=25|\sqrt{}x>0$

$x=\sqrt{25}$

$\underline{x=5}$

Odp. Boki tego trójkąta są długości $3$, $4$ oraz $5$.