a)

Zauważmy, że trójkąt przedstawiony na rysunku w treści zadania jest równoramienny. Oznacza to, że wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części.

Wykonamy rysunek pomocniczy i przyjmiemy odpowiednie oznaczenia:

Aby obliczyć długość odcinka $x$, skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $CDB$:

$x^2+4^2={\left(4\sqrt{3}\right)}^2$

$x^2+16=16\cdot 3$

$x^2+16=48|-16$

$x^2=32|\sqrt{}x>0$

$x=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=\underline{4\sqrt{2}[cm]}$

---

b)

Wykonamy rysunek pomocniczy i przyjmiemy odpowiednie oznaczenia:

Zauważmy, że odcinek $x$ składa się z dwóch odcinków: $AD$ i $DB$. Długość każdego z nich obliczymy z twierdzenia Pitagorasa w odpowiednich trójkątach.

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ACD$ otrzymujemy:

${\left|CD\right|}^2+{\left|AD\right|}^2={\left|AC\right|}^2$

$12^2+{\left|AD\right|}^2=20^2$

$144+{\left|AD\right|}^2=400|-144$

${\left|AD\right|}^2=256|\sqrt{}\left|AD\right|>0$

$\left|AD\right|=\sqrt{256}$

$\left|AD\right|=16\text{[cm]}$

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $CDB$ otrzymujemy:

${\left|CD\right|}^2+{\left|DB\right|}^2={\left|BC\right|}^2$

$12^2+{\left|DB\right|}^2=15^2$

$144+{\left|DB\right|}^2=225|-144$

${\left|DB\right|}^2=81|\sqrt{}\left|DB\right|>0$

$\left|DB\right|=\sqrt{81}$

$\left|DB\right|=9\text{[cm]}$

Szukany odcinek $x$ ma długość:

$x=\left|AD\right|+\left|DB\right|=16+9=\underline{25\text{[cm]}}$

---

c)

Wykonamy rysunek pomocniczy i przyjmiemy odpowiednie oznaczenia:

Aby obliczyć długość odcinka $x$, potrzebujemy najpierw wyznaczyć długość odcinka $CD$.

W tym celu skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $BCD$:

${\left|CD\right|}^2+{\left|DB\right|}^2={\left|BC\right|}^2$

${\left|CD\right|}^2+{\left(2\sqrt{6}\right)}^2=6^2$

${\left|CD\right|}^2+4\cdot 6=36$

${\left|CD\right|}^2+24=36|-24$

${\left|CD\right|}^2=12|\sqrt{}\left|CD\right|>0$

$\left|CD\right|=\sqrt{12}\text{[cm]}$

Przejdźmy teraz do wyznaczenia długości $x$.

Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ACD$:

${\left|CD\right|}^2+{\left|AD\right|}^2={\left|AC\right|}^2$

${\left(\sqrt{12}\right)}^2+4^2=x^2$

$12+16=x^2$

$x^2=28|\sqrt{}x>0$

$x=\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot 7}=\underline{2\sqrt{7}\text{[cm]}}$

---

---

Komentarz: Twierdzenia Pitagorasa możemy używać tylko do trójkątów prostokątnych. Zauważ, że nie wiedzieliśmy, czy trójkąt $ABC$ jest prostokątny, dlatego nie mogliśmy stosować tego twierdzenia do trójkąta $ABC$.