a)

Dane jest wyrażenie:

$2x{y}^2-\left(x^2+x{y}^2\right)$

Opuścimy nawias, zmieniając znak każdego składnika w nawiasie na przeciwny, a następnie zredukujemy wyrazy podobne:

$2x{y}^2-\left(x^2+x{y}^2\right)=\underline{2x{y}^2}-x^2\underline{-x{y}^2}=x{y}^2-x^2$

Obliczmy teraz wartość powyższego wyrażenia dla $x={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ i dla $y=\sqrt{2}$:

$\frac{1}{4}\cdot {\left({\sqrt{2}}^{}\right)}^2-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{4}\cdot 2-\frac{1}{16}=\frac{1}{2}-\frac{1}{16}=\frac{8}{16}-\frac{1}{16}=\frac{7}{16}$

---

b)

Dane jest wyrażenie:

$\frac{y\left(y-1\right)}{2}+\frac{2y\left(y+1\right)}{2}$

Dodajmy najpierw oba ułamki (mają wspólne mianowniki):

$\frac{y\left(y-1\right)}{2}+\frac{2y\left(y+1\right)}{2}=\frac{y\left(y-1\right)+2y\left(y+1\right)}{2}=\dots$

Pomnóżmy teraz liczbę $y$ przez sumę $y-1$, a liczbę $2y$ przez sumę $y+1$:

$\dots =\frac{y\cdot y-y\cdot 1+2y\cdot y+2y\cdot 1}{2}=\frac{y^2-y+2y^2+2y}{2}=\dots$

Zredukujmy jeszcze wyrazy podobne występujące w liczniku i podzielmy każdy składnik w liczniku przez $2$:

$\dots =\frac{3y^2+y}{2}=\frac{3y^2}{2}+\frac{y}{2}=1\frac{1}{2}{y}^2+\frac{1}{2}y$

Obliczmy teraz wartość powyższego wyrażenia dla $y=0,5=\frac{1}{2}$:

$1\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1^{\cdot 2}}{4^{\cdot 2}}=\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}$

---

c)

Dane jest wyrażenie:

$\frac{1}{2}\left(6x-2y\right)+5x$

Pomnóżmy najpierw liczbę $\frac{1}{2}$ przez każdy wyraz występujący w nawiasie:

$\frac{1}{2}\left(6x-2y\right)+5x=\frac{1}{2}\cdot 6x-\frac{1}{2}\cdot 2y+5x=3x-y+5x=\dots$

Zredukujmy jeszcze wyrazy podobne:

$\dots =8x-y$

Obliczmy teraz wartość powyższego wyrażenia dla $x=\sqrt[3]{4}$ i $y=2\sqrt[3]{4}$:

$8\cdot \sqrt[3]{4}-2\sqrt[3]{4}=8\sqrt[3]{4}-2\sqrt[3]{4}=6\sqrt[3]{4}$

---

d)

Dane jest wyrażenie:

$\frac{3\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{2}-x^2$

Najpierw wykonamy mnożenie sum algebraicznych $x-1$ oraz $x+1$:

$\frac{3\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{2}-x^2=\frac{3\left(x\cdot x+x\cdot 1-1\cdot x-1\cdot 1\right)}{2}-x^2=\frac{3\left(x^2+x-x-1\right)}{2}-x^2=\dots$

Teraz zredukujmy wyrazy podobne powstałe w nawiasie:

$\dots =\frac{3\left(x^2-1\right)}{2}-x^2=\dots$

Pomnóżmy liczbę $3$ przez każdy składnik w nawiasie, a następnie podzielmy te składniki przez $2$:

$\dots =\frac{3x^2-3}{2}-x^2=\frac{3x^2}{2}-\frac{3}{2}-x^2=\frac{3}{2}{x}^2-1\frac{1}{2}-x^2=\dots$

Ostatni raz jeszcze zredukujmy wyrazy podobne:

$\dots =\frac{1}{2}{x}^2-1\frac{1}{2}$

Obliczmy teraz wartość powyższego wyrażenia dla $x=\sqrt{10}$:

$\frac{1}{2}\cdot {\left(\sqrt{10}\right)}^2-1\frac{1}{2}=\frac{1}{{\cancel{2}}_1}\cdot {\cancel{10}}^5-1\frac{1}{2}=5-1\frac{1}{2}=3\frac{1}{2}$