Treść:

Określamy kwadraty K₁, K₂, K₃,... następująco:

• K₁ jest kwadratem o boku o długości a.
• K₂ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K₁ i dzieli ten bok w stosunku 1:3.
• K₃ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K₂ i dzieli ten bok w stosunku 1:3.
  i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 2,
  
• K_n jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_n-1 i dzieli ten bok w stosunku 1:3.
  Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny.
  Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

---

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wierzchołki kwadratu K₂ dzielą każdy z boków kwadratu K₁ na dwa odcinki, których długości możemy zapisać jako x i 3x.