Zauważmy, że sumę wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzie podstawy równej a i wysokości H, można wyrazić jako

$2\cdot 6\cdot a+6\cdot H=12a+6H$

Mamy z treści zadania

$$\begin{gathered} 12a+6H=24|:6 \\ 2a+H=4|-2a \\ H=4-2a \end{gathered}$$

Zapiszmy wzór na pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego wykorzystując obliczoną wyżej wysokość.

$P_b=6\cdot a\cdot H=6\cdot a\cdot \left(4-2a\right)=-12a^2+24a$

Przy czym mamy następujące założenia

$$\begin{gathered} a>0\wedge 4-2a>0 \\ a>0\wedge a<2 \end{gathered}$$

Szukamy dla jakiej wartości a mamy największe pole. Niech

$f\left(a\right)=-12a^2+24a,a\in \left(0,2\right)$

Sprawdźmy czy wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f znajduje się w rozważanym przedziale.

$p=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{-24}=1\in \left(0,2\right)$

Ramiona paraboli są skierowane ku dołowi zatem największa wartość znajduje się w wierzchołku. Krawędź podstawy graniastosłupa o największym polu bocznym wynosi

$\underline{a=1}$