Wykonajmy rysunek pomocniczy.

Trapez ABCD jest równoramienny, więc 

$\left|EB\right|=\frac{a-b}{2}\text{oraz}\left|AE\right|=\frac{a+b}{2}$  

Z własności czworokąta opisanego na okręgu mamy

$a+b=2c$  

Obwód tego trapezu jest równy l, więc mamy

$\underset{2c}{\underbrace{a+b}}+2c=l$  

$4c=l\mid :4$

$\underline{c=\frac{1}{4}l}$   

Oraz mamy też:

$\left|AE\right|=\frac{a+b}{2}=\frac{2c}{2}=c$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AEC mamy

${\left|AE\right|}^2+{\left|EC\right|}^2={\left|AC\right|}^2$

$c^2+h^2=d^2$

$h^2=d^2-c^2$

$h^2=d^2-{\left(\frac{1}{4}l\right)}^2$

$h^2=d^2-\frac{l^2}{16}$

$h^2=\frac{16d^2-l^2}{16}\wedge h>0$

$h=\frac{\sqrt{16d^2-l^2}}{4}$

Okrąg opisany na trapezie ABCD jest również okręgiem opisanym na trójkącie ABC. Korzystając z trójkąta prostokątnego BEC, wyznaczmy sinus kąta 𝛼:

$\sin \alpha =\frac{h}{c}=\frac{\frac{\sqrt{16d^2-l^2}}{4}}{\frac{l}{4}}=\frac{\sqrt{16d^2-l^2}}{l}$  

Zastosujmy twierdzenie sinusów dla trójkąta ABC, aby wyznaczyć długość promienia R

$2R=\frac{\left|AC\right|}{\sin \alpha }=\frac{d}{\frac{\sqrt{16d^2-l^2}}{l}}=\frac{d\cdot l}{\sqrt{16d^2-l^2}}$

Stąd

$R=\frac{d\cdot l}{2\sqrt{16d^2-l^2}}$   

co należało wykazać.