Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Wiemy, że jeżeli na czworokącie da się opisać okrąg to suma miar kątów przeciwległych jest równa 180°. Zatem zachodzi

$$\begin{gathered} \left|\sphericalangle BAD\right|+\left|\sphericalangle DCB\right|={180}^{\circ } \\ 2\alpha +\left|\sphericalangle DCB\right|={180}^{\circ } \\ \left|\sphericalangle DCB\right|={180}^{\circ }-2\alpha \end{gathered}$$ 

Analogicznie zachodzi

$$\begin{gathered} \left|\sphericalangle CBA\right|+\left|\sphericalangle ADC\right|={180}^{\circ } \\ 2\beta +\left|\sphericalangle ADC\right|={180}^{\circ } \\ \left|\sphericalangle ADC\right|={180}^{\circ }-2\beta \end{gathered}$$  

Odcinki SC i DR należą do dwusiecznych kątów zatem

$\left|\sphericalangle DCR\right|=\frac{\left|\sphericalangle DCB\right|}{2}={90}^{\circ }-\alpha$  

$\left|\sphericalangle RDC\right|=\frac{\left|\sphericalangle ADC\right|}{2}={90}^{\circ }-\beta$  

Czyli zachodzi

$\left|\sphericalangle CRD\right|={180}^{\circ }-\left(\left|\sphericalangle DCR\right|+\left|\sphericalangle RDC\right|\right)={180}^{\circ }-\left({180}^{\circ }-\alpha -\beta \right)=\alpha +\beta$  

W trójkącie ABP suma miar kątów wewnętrznych wynosi 180°, zatem

$\left|\sphericalangle APB\right|={180}^{\circ }-\left(\alpha +\beta \right)$  

Kąty wierzchołkowe mają równe miary zatem

$$\begin{gathered} \left|\sphericalangle QPS\right|=\left|\sphericalangle APB\right|={180}^{\circ }-\left(\alpha +\beta \right) \\ \left|\sphericalangle SRQ\right|=\left|\sphericalangle CRD\right|=\alpha +\beta \end{gathered}$$  

Zauważmy, że w czworokącie PQRS suma miar przeciwległych kątów wynosi

$\left|\sphericalangle QPS\right|+\left|\sphericalangle SRQ\right|={180}^{\circ }-\left(\alpha +\beta \right)+\alpha +\beta ={180}^{\circ }$   

A stąd

$\left|\sphericalangle PSR\right|+\left|\sphericalangle RQP\right|={180}^{\circ }$  

Na czworokącie PQRS da się opisać okrąg, co należało wykazać.