Zakładamy, że podany układ równań ma rozwiązanie, które jest parą liczb rzeczywistych nie mniejszych od 4.  

Przekształcamy podany układ równań:

$\{\begin{array}{l}4a+4b+4c=80\mid :4\\ 2ab+2bc+2ca=256\mid :2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a+b+c=20\\ ab+bc+ca=128\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=20-a-c\\ a\left(20-a-c\right)+\left(20-a-c\right)c+ca=128\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}b=20-a-c\\ 20a-a^2-ac+20c-ac-c^2+ca=128\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=20-a-c\\ -a^2+\left(-c+20\right)a+\left(-c^2+20c-128\right)=0\mid \cdot \left(-1\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=20-a-c\\ a^2+\left(c-20\right)a+\left(c^2-20c+128\right)=0\end{array}$  

Równanie a²+(c-20)a+(c²-20c+128)=0 ma rozwiązanie, więc wyróżnik Δ_a jest nieujemny. Mamy więc: 

${\Delta }_a\ge 0$  

${\left(c-20\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(c^2-20c+128\right)\ge 0$  

$c^2-40c+400-4c^2+80c-512\ge 0$

$-3c^2+40c-112\ge 0$

${\Delta }_c={40}^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot \left(-112\right)=1600-1344=256,\sqrt{{\Delta }_c}=16$    

$c_{}=\frac{-40-16}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{-56}{-6}=\frac{28}{3}\vee c_{}=\frac{-40+16}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{-24}{-6}=4$

zatem

$c\in ⟨4,\frac{28}{3}⟩$  

Zakładamy teraz, że c∈[4, ²⁸/₃]. Jeśli c∈[4, ²⁸/₃], to funkcja 

$f\left(a\right)=a^2+\left(c-20\right)a+\left(c^2-20c+128\right)$  

ma co najmniej jedno miejsce zerowe, ponieważ wyróżnik Δ_a jest nieujemny. Niech W=(p, q) będzie wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji f. Mamy:

$p=-\frac{c-20}{2}$

Zatem

• dla c=4 mamy

$p=-\frac{4-20}{2}=8$   

• dla c=²⁸/₃ mamy

$p=-\frac{\frac{28}{3}-20}{2}=-\frac{-\frac{32}{3}}{2}=\frac{16}{3}$  

Stąd

$p\in ⟨\frac{16}{3},8⟩$  

oraz

$q=-\frac{\Delta }{4}\le 0$  

a także

$f\left(4\right)=c^2-16c+64={\left(c-8\right)}^2\ge 0$  

Zatem funkcja f ma miejsce zerowe w przedziale [4, ∞). W analogiczny sposób wiemy, że funkcja

$f\left(b\right)=b^2+\left(c-20\right)b+\left(c^2-20c+128\right)$

 ma miejsce zerowe w przedziale [4, ∞). Zatem układ równań ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie mniejszych od 4, co było do wykazania.