Przypomnijmy wzór na zmianę podstawy logarytmu

Gdy a,b,c >0, a≠1, c≠1, to ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

Zakładamy, że

$x>0\wedge y>0\wedge x\ne 1,y\ne 1$

Rozpiszmy lewą stronę nierówności

$L={\log }_x\left(xy\right)\cdot {\log }_y\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{\log \left(xy\right)}{\log x}\cdot \frac{\log \left(\frac{y}{x}\right)}{\log y}=\frac{\log \left(xy\right)}{\log y}\cdot \frac{\log \left(\frac{y}{x}\right)}{\log x}={\log }_y\left(xy\right)\cdot {\log }_x\left(\frac{y}{x}\right)=P$

Jest równa prawej stronie, co należało wykazać.