Zapiszmy pierwsze z równań okręgu w postaci kanonicznej.

$x^2+y^2-12x-8y+43=0$     

${\left(x-6\right)}^2-36+{\left(y-4\right)}^2-16+43=0$  

${\left(x-6\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2-9=0$  

${\left(x-6\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=9$  

Z powyższej postaci możemy odczytać środek okręgu oraz promień.

$S_1=\left(6,4\right),r_1=3$  

Zapiszmy drugie z równań okręgu w postaci kanonicznej.

$x^2+y^2-2ax+4y+a^2-77=0$  

${\left(x-a\right)}^2-a^2+{\left(y+2\right)}^2-4+a^2-77=0$  

${\left(x-a\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2-81=0$  

${\left(x-a\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=81$  

Z powyższej postaci możemy odczytać środek okręgu oraz promień.

$S_2=\left(a,-2\right),r_2=9$  

---

Przypadek I. Są to okręgi styczne zewnętrznie, zatem

$\left|S_1{S}_2\right|=r_1+r_2$  

$\sqrt{{\left(a-6\right)}^2+{\left(-2-4\right)}^2}=3+9$  

$\sqrt{a^2-12a+36+36}=12$  

$a^2-12a+72=144\mid -144$  

$a^2-12a-72=0$  

$\Delta ={\left(-12\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-72\right)=144+288=432,\sqrt{\Delta }=\sqrt{432}=123$  

Stąd

$a=\frac{12-12\sqrt{3}}{2}=6-6\sqrt{3}\vee a_{}=\frac{12+12\sqrt{3}}{2}=6+6\sqrt{3}$  

---

Przypadek II. Są to okręgi styczne wewnętrznie, zatem

$\left|S_1{S}_2\right|=r_2-r_1$  

$\sqrt{{\left(a-6\right)}^2+{\left(-2-4\right)}^2}=9-3$  

$\sqrt{a^2-12a+36+36}=6{}^{}$  

$a^2-12a+72=36\mid -36$  

$a^2-12a+36=0$  

${\left(a-6\right)}^2=0$  

Równoważnie

$a-6=0$  

$a=6$  

---

Okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny, gdy

  $a\in \left\{6-6\sqrt{3},6+6\sqrt{3},6\right\}$