Rozważmy trójkąt prostokątny CDS. Z twierdzenia Pitagorasa mamy

${\left|CS\right|}^2={\left|CD\right|}^2+{\left|DS\right|}^2$

${\left|CS\right|}^2=2^2+1^2$

${\left|CS\right|}^2=4+1$

${\left|CS\right|}^2=5,\left|CS\right|>0$

$\left|CS\right|=\sqrt{5}$      

Rozważmy trójkąt BCF, jest to połowa kwadratu o boku długości 2. Stąd

$\left|CF\right|=2\sqrt{2}$  

---

Narysujmy rysunek pomocniczy.

Odcinek FH jest przekątną podstawy sześcianu.

$\left|FH\right|=2\sqrt{2}$  

Rozważmy trójkąt FHS. Jest prostokątny, z twierdzenia Pitagorasa mamy

${\left|FS\right|}^2={\left|HS\right|}^2+{\left|FH\right|}^2$  

${\left|FS\right|}^2=1^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2$  

${\left|FS\right|}^2=1+8$ ${\left|FS\right|}^2=9,\left|FS\right|>0$   

$\left|FS\right|=3$  

---

Najmniejszy kąt wewnętrzny trójkąta jest naprzeciw najkrótszego boku. Mamy

$\sqrt{5}<2\sqrt{2}<3$  

$\left|CS\right|<\left|CF\right|<\left|FS\right|$  

Zatem interesuje nas kąt FCS. Z twierdzenia cosinusów w trójkącie CFS mamy

$\cos \left|\sphericalangle FCS\right|=\frac{{\left|CF\right|}^2+{\left|FS\right|}^2-{\left|CS\right|}^2}{2\cdot \left|CF\right|\cdot \left|FS\right|}=\frac{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2+3^2-{\sqrt{5}}^2}{2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3}=\frac{8+9-5}{12\sqrt{2}}=\frac{12}{12\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Zatem

$\underline{\left|\sphericalangle FCS\right|={45}^{\circ }}$