Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku 

---

Zauważmy, że czworokąt OCBD jest kwadratem o boku długości R, zatem długość odcinka OB jest równa długości przekątnej tego kwadratu, czyli

$\left|OB\right|=R\sqrt{2}$  

---

Podobnie czworokąt OEAF jest kwadratem o boku długości r, zatem długość odcinka OA jest równa długości przekątnej tego kwadratu, czyli 

$\left|OA\right|=r\sqrt{2}$  

---

Zatem otrzymujemy 

$\left|OB\right|=\left|OA\right|+\left|AP\right|+\left|PB\right|$  

$R\sqrt{2}=r\sqrt{2}+r+R$  

$R\sqrt{2}-R=r\sqrt{2}+r$  

$R\left(\sqrt{2}-1\right)=r\left(\sqrt{2}+1\right)\mid :\left(\sqrt{2}-1\right)$  

$R=r\cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\mid :r$  

$\frac{R}{r}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=\frac{{\left(\sqrt{2}+1\right)}^2}{{\sqrt{2}}^2-1^2}=\frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1}=\frac{3+2\sqrt{2}}{1}=3+2\sqrt{2}$  

Stąd istotnie

$\frac{R}{r}=3+2\sqrt{2}$  

co należało udowodnić.