Wiemy z treści zadania, że

$a_1+a_3+a_5=182$  

$a_1+a_1{q}^2+a_1{q}^4=182$  

$a_1\left(1+q^2+q^4\right)=182\left(1\right)$  

Wiemy również, że

$\frac{a_1+a_3+a_5}{a_2+a_4+a_6}=\frac{1}{3}$  

$\frac{182}{a_2+a_4+a_6}=\frac{1}{3}$  

$a_2+a_4+a_6=546$  

$a_{1}q+a_1{q}^3+a_1{q}^5=546$  

$a_{1}q\left(1+q^2+q^4\right)=546\left(2\right)$  

Zaważmy, że dla każdego q zachodzi

$1+q^2+q^4>0$   

Rozważmy dwa równania (1) oraz (2). Mamy z (1)

$a_1\left(1+q^2+q^4\right)=182\mid :\left(1+q^2+q^4\right)$  

$a_1=\frac{182}{1+q^2+q^4}$

Wstawmy to do (2).

$\frac{182}{1+q^2+q^4}q\left(1+q^2+q^4\right)=546$  

$182q=546\mid :182$  

$q=3$  

Stąd

$a_1=\frac{182}{1+3^2+3^4}=\frac{182}{1+9+81}=\frac{182}{91}=2$  

A zatem ciąg jest postaci

$\left(2,6,18,54,162,486\right)$