Zapiszmy, że mamy dane

$S_5=10$  

Stąd

$\frac{2a_1+4r}{2}\cdot 5=10\mid :5$

$a_1+2r=2\mid -2r$   

$a_1=2-2r$  

Wiemy, że a₃, a₅, a₁₃ tworzą w kolejności ciąg geometryczny. Zatem

$a_5^2=a_3\cdot a_{13}$  

Zapiszmy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

${\left(a_1+4r\right)}^2=\left(a_1+2r\right)\left(a_1+12r\right)$  

Wstawmy wyliczoną wcześniej wartości pierwszego wyrazu.

${\left(2-2r+4r\right)}^2=\left(2-2r+2r\right)\left(2-2r+12r\right)$

${\left(2+2r\right)}^2=2\left(2+10r\right)$

$4+8r+4r^2=4+20r\mid -4-20r$    

$4r^2-12r=0$

$4r\left(r-3\right)=0$

$4r=0\vee r-3=0$    

$r=0\vee r=3$  

Ciąg jest rosnący, zatem

$\underline{r=3}$  

Stąd

$a_1=2-2\cdot 3=2-6=-4$  

Wzór na n-ty wyraz ciągu (a_n) ma postać

$a_n=a_1+\left(n-1\right)r$

$a_n=-4+\left(n-1\right)\cdot 3$

$a_n=-4+3n-3$

$\underline{\underline{a_n=-7+3n}}$