Zauważmy, że możemy stworzyć układ równań

$\{\begin{array}{l}f\left(-6\right)=\frac{3}{2}\\ f\left(0\right)=\frac{3}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a\cdot {\left(-6\right)}^2+b\cdot \left(-6\right)+c=\frac{3}{2}\\ a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=\frac{3}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}36a-6b+c=\frac{3}{2}\\ c=\frac{3}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}36a-6b+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\mid -\frac{3}{2}-36a\\ c=\frac{3}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-6b=-36a\mid :\left(-6\right)\\ c=\frac{3}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=6a\\ c=\frac{3}{2}\end{array}$  

Stąd wzór funkcji ma postać

$f\left(x\right)=a{x}^2+6ax+\frac{3}{2}$  

Skoro funkcja przyjmuje wartość największą to ramiona paraboli będącej jej wykresem skierowane są w dół. Mamy daną wartość drugiej współrzędnej wierzchołka

$q=6$  

Stąd ze wzoru

$\frac{-\Delta }{4a}=6$  

$\frac{-\left[{\left(6a\right)}^2-4\cdot a\cdot \frac{3}{2}\right]}{4a}=6\mid \cdot 4a$  

$-\left[36a^2-6a\right]=24a$  

$-36a^2+6a=24a\mid -24a$

$-36a^2-18a=0$   

$-18a\left(2a+1\right)=0$  

Stąd

$a=0\vee a=-\frac{1}{2}$  

Aby funkcja była kwadratowa a≠0. Stąd

$\underline{\underline{a=-\frac{1}{2}}}$