Oznaczmy

$\left|\sphericalangle ABC\right|=\alpha$

Odcinek AB jest średnicą okręgu zatem kąt ACB jest kątem prostym. Oznacza to, że

$\underline{\left|\sphericalangle BAC\right|=90^{\circ }-\alpha }$

W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej BS możemy obliczyć, że

$\left|\sphericalangle BSD\right|=90^{\circ }-\alpha$

A stąd jako kąt przyległy

$\left|\sphericalangle DSA\right|=180^{\circ }-\left(90^{\circ }-\alpha \right)=90^{\circ }+\alpha$

Trójkąt ASD jest równoramienny, zatem

$\left|\sphericalangle DAS\right|=\frac{180^{\circ }-(90^{\circ }+\alpha )}{2}=\underline{\frac{90^{\circ }-\alpha }{2}}$

Zauważmy, że kąt DAS jest połową kąta BAC, co oznacza, że odcinek AD musi zawierać się w dwusiecznej tego kąta, co należało udowodnić.