Wykonajmy rysunek pomocniczy.

Zauważmy, że odcinek PR jest wysokością trójkąta równobocznego o boku długości 8 (ponieważ sześciokąt foremny jest podzielony na sześć jednakowych trójkątów równobocznych). Mamy

$\left|PR\right|=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$

Trójkąt PRS jest połową trójkąta równobocznego ze względu na swoje kąty. Zatem zachodzi

$\left|PS\right|=H=4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=4\cdot 3=12$

Zauważmy, że

$\left|DP\right|=a=8$

Rozważmy trójkąt DPS. Jest prostokątny i możemy skorzystać w nim z twierdzenia Pitagorasa. Mamy

$$\begin{gathered} |DS{|}^2=|PS{|}^2+|DP{|}^2 \\ |DS{|}^2=12^2+8^2 \\ |DS{|}^2=144+64 \\ |DS{|}^2=208,|DS|>0 \\ |DS|=4\sqrt{13} \end{gathered}$$

Obliczmy

$\cos \alpha =\frac{|DP|}{|DS|}=\frac{8}{4\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$