Z treści zadania wiemy, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe 45√3, natomiast pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Niech a będzie długością krawędzi podstawy graniastosłupa, natomiast H jego wysokością.

Możemy zapisać, że

$$\begin{gathered} P_c=2\cdot P_p+P_b \\ 45\sqrt{3}=2\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot a\cdot H \\ 45\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+3aH \\ 90\sqrt{3}=a^2\sqrt{3}+6aH \end{gathered}$$

Oraz

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=a\cdot H$  

$a^2\sqrt{3}=4aH$  

Wobec tego rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{array}{l}90\sqrt{3}=a^2\sqrt{3}+6aH\\ a^2\sqrt{3}=4aH|:4a\text{,}a\ne 0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}90\sqrt{3}=a^2\sqrt{3}+6aH\\ \frac{a\sqrt{3}}{4}=H\end{array}$  

Podstawiamy wartość H z drugiego równania do pierwszego i dostajemy:

$$\begin{gathered} 90\sqrt{3}=a^2\sqrt{3}+6a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} \\ 360\sqrt{3}=4a^2\sqrt{3}+6a^2\sqrt{3}|:\sqrt{3} \\ 360=10a^2|:10 \\ {a}^2=36,a>0 \\ a=6 \end{gathered}$$  

Zatem

$H=\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{6\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$  

---

Obliczamy objętość graniastosłupa.

$V=P_p\cdot H=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}==\frac{{\cancel{36}}^{18}\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{{\cancel{2}}^1}=\frac{{\cancel{54}}^{27}\cdot 3}{{\cancel{4}}^2}=\frac{81}{2}$