Wiemy, że AD jest środkową, zatem

$\left|BD\right|=\left|CD\right|=5$  

Dorysujmy odcinki prostopadłe do podstawy AB.

Odcinek CF jest wysokością trójkąta równoramiennego, stąd

$\left|BF\right|=\frac{1}{2}\left|AB\right|=\frac{1}{2}\cdot 12=6$  

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BCF mamy 

${\left|BF\right|}^2+{\left|CF\right|}^2={\left|BC\right|}^2$

$6^2+{\left|CF\right|}^2={10}^2$   

$36+{\left|CF\right|}^2=100$

${\left|CF\right|}^2=64,\left|CF\right|>0$

$\left|CF\right|=8$    

Pole trójkąta ABC wynosi

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot \left|CF\right|=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 8=48$  

---

Zauważymy, że z twierdzenia Talesa (lub odpowiedniego podobieństwa trójkątów) zachodzi

$\frac{\left|BD\right|}{\left|CD\right|}=\frac{\left|BE\right|}{\left|EF\right|}$  

$\left|BE\right|=\left|EF\right|$  

Stąd

$\left|BE\right|=\left|EF\right|=3$  

Oraz

$\left|DE\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|CF\right|=\frac{1}{2}\cdot 8=4$  

A więc

$\left|AE\right|=\left|FE\right|+\left|AF\right|=3+\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|=3+\frac{1}{2}\cdot 12=3+6=9$  

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ADE mamy

${\left|DE\right|}^2+{\left|AE\right|}^2={\left|AD\right|}^2$

$4^2+9^2={\left|AD\right|}^2$

$16+81={\left|AD\right|}^2$    

${\left|AD\right|}^2=97,\left|AD\right|>0$  

$\left|AD\right|=\sqrt{97}$  

---

Pole trójkąta ACD wynosi

$P_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot P_{ABC}$  

ponieważ jest połową całego trójkąta ABC, gdyż AD jest środkową. Stąd

$P_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot 48$

$P_{ACD}=24$   

Ze wzoru na pole trójkąta mamy

$\frac{1}{2}\cdot \left|AC\right|\cdot \left|AD\right|\cdot \sin \alpha =24$  

$\frac{1}{2}\cdot 10\cdot \sqrt{97}\cdot \sin \alpha =24$  

$5\sqrt{97}\cdot \sin \alpha =24$  

Otrzymujemy

$\sin \alpha =\frac{24}{5\sqrt{97}}$  

$\underline{\underline{\sin \alpha =\frac{24\sqrt{97}}{485}}}$