Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Rysunek pomocniczy:

Wiemy, że stosunek krawędzi podstawy do wysokości ściany bocznej jest równy 1:2, więc:

$\frac{a}{h}=\frac{1}{2}$  

Stąd:

$h=2a$  

Wyznaczamy pole P_p podstawy ostrosłupa (pole trójkąta równobocznego o boku a):

$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$  

Wyznaczamy pole P_b powierzchni bocznej ostrosłupa (pole trzech trójkątów o podstawie a i wysokości h):

$P_b=3\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot a\cdot h\right)=\frac{3}{2}ah=\frac{3}{2}a\cdot 2a=\frac{3}{{\cancel{2}}^1}a\cdot {\cancel{2}}^{1}a=3a^2$  

Wyznaczamy pole P_c powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3a^2=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{12a^2}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}+12a^2}{4}=\frac{a^2\left(\sqrt{3}+12\right)}{4}$  

Wiemy, że pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe (12+√3) dm², więc:

$\frac{a^2\left(\sqrt{3}+12\right)}{4}=12+\sqrt{3}\mid \cdot 4$  

$a^2\left(\sqrt{3}+12\right)=4\left(12+\sqrt{3}\right)\mid :\left(\sqrt{3}+12\right)$  

$a^2=4$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa:

$P_b=3a^2=3\cdot 4=\underline{\underline{12\left[{\text{dm}}^2\right]}}$