Korzystamy z rysunku w podręczniku.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest sześciokąt foremny, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

---

a)

Obliczymy pole P przekroju ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego (przedstawionego na rysunku w podręczniku) płaszczyzną przechodzącą przez najdłuższą przekątną podstawy i wierzchołek S ostrosłupa.

 

Najdłuższą przekątną podstawy jest na przykład odcinek AD.

Otrzymany przekrój jest więc trójkątem równoramiennym ADS:

$\left|AS\right|=\left|DS\right|=10$  

 

Wiemy, że sześciokąt foremny o boku a można podzielić na sześć przystających trójkątów równobocznych o boku a (czyli sześciokąt foremny o boku 5 można podzielić na sześć przystających trójkątów równobocznych o boku 5), więc:

$\left|AD\right|=2\cdot \underset{\text{bok troˊjkąta roˊwnobocznego}}{\underbrace{\left|AB\right|}}=2\cdot 5=10$  

 

To oznacza, że trójkąt równoramienny ADS jest trójkątem równobocznym.

 

Obliczamy pole otrzymanego przekroju (pole trójkąta równobocznego o boku 10):

$P=\frac{{10}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{100\sqrt{3}}{4}=\underline{\underline{25\sqrt{3}}}$  

---

b)

Obliczymy pole P przekroju ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego (przedstawionego na rysunku w podręczniku) płaszczyzną przechodzącą przez najkrótszą przekątną podstawy i wierzchołek S ostrosłupa.

 

Najkrótszą przekątną podstawy jest na przykład odcinek AC.

Otrzymany przekrój jest więc trójkątem równoramiennym ACS:

$\left|AS\right|=\left|CS\right|=10$  

 

Wiemy, że sześciokąt foremny o boku a można podzielić na sześć przystających trójkątów równobocznych o boku a (czyli sześciokąt foremny o boku 5 można podzielić na sześć przystających trójkątów równobocznych o boku 5), więc:

$\left|AC\right|=2\cdot \underset{\text{wysokosˊcˊ troˊjkąta roˊwnobocznego}}{\underbrace{\frac{\left|AB\right|\cdot \sqrt{3}}{2}}}=\left|AB\right|\cdot \sqrt{3}=5\sqrt{3}$  

 

Wiemy, że wysokość trójkąta równoramiennego poprowadzona na podstawę dzieli ten trójkąt na dwa przystające trójkąty równoramienne, zatem:

Z twierdzenia Pitagorasa:

${\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)}^2+h^2={10}^2$  

$\frac{25\cdot 3}{4}+h^2=100$  

$\frac{75}{4}+h^2=100$  

$h^2=100-\frac{75}{4}$  

$h^2=\frac{400}{4}-\frac{75}{4}$  

$h^2=\frac{325}{4}$  

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$h=\sqrt{\frac{325}{4}}$  

$h=\frac{\sqrt{25\cdot 13}}{\sqrt{4}}$  

$h=\frac{5\sqrt{13}}{2}$  

 

Obliczamy pole otrzymanego przekroju (pole trójkąta równoramiennego o podstawie AC i wysokości h):

$P=\frac{1}{2}\cdot 5\sqrt{3}\cdot \frac{5\sqrt{13}}{2}=\frac{5\cdot 5\cdot \sqrt{3\cdot 13}}{2\cdot 2}=\underline{\underline{\frac{25\sqrt{39}}{4}}}$  

Uwaga. Odpowiedź podana w podręczniku jest błędna. Poprawna odpowiedź powyżej.