a)

Korzystamy z rysunku w podręczniku.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Obliczamy wysokość h trójkąta równobocznego o boku 6:

$h=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$  

Wiemy, że wysokości trójkąta równobocznego przecinają się w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka), więc:

$\left|AO\right|=\frac{2}{3}\cdot h=\frac{2}{{\cancel{3}}^1}\cdot {\cancel{3}}^1\sqrt{3}=2\sqrt{3}$  

Spójrzmy na trójkąt prostokątny AOS:

$\cos \alpha =\frac{\left|AO\right|}{\left|AS\right|}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

Stąd:

$\underline{\underline{\alpha ={30}^{\circ }}}$  

---

b)

Korzystamy z rysunku w podręczniku. 

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Stąd:

$\left|BS\right|=\left|AS\right|=16$  

Z twierdzenia cosinusów (trójkąt ABS):

${\left|BS\right|}^2={\left|AB\right|}^2+{\left|AS\right|}^2-2\cdot \left|AB\right|\cdot \left|AS\right|\cdot \cos \alpha$  

${16}^2={10}^2+{16}^2-2\cdot 10\cdot 16\cdot \cos \alpha$  

$256=100+256-320\cdot \cos \alpha$  

$256=356-320\cdot \cos \alpha$  

$320\cdot \cos \alpha =356-256$  

$320\cdot \cos \alpha =100\mid :320$  

$\cos \alpha =\frac{100}{320}$  

$\cos \alpha =0,3125$  

Z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że:

$\cos {72}^{\circ }\approx 0,3090$  

$\cos {71}^{\circ }\approx 0,3256$  

Zatem:

$\underline{\underline{\alpha \approx {72}^{\circ }}}$  

---

c)

Korzystamy z rysunku w podręczniku. 

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Obliczamy wysokość trójkąta równobocznego o boku 6:

$\left|AD\right|=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$  

Wiemy, że wysokości trójkąta równobocznego przecinają się w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka), więc:

$\left|OD\right|=\frac{1}{3}\cdot \left|AD\right|=\frac{1}{{\cancel{3}}^1}\cdot {\cancel{3}}^1\sqrt{3}=\sqrt{3}$  

Spójrzmy na trójkąt prostokątny DOS:

$\text{tg}\alpha =\frac{\left|OS\right|}{\left|OD\right|}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$  

Stąd:

$\underline{\underline{\alpha ={60}^{\circ }}}$