Aby były to wyrazy ciągu geometrycznego powinno zachodzić

$$\begin{gathered} {\left(x^2+3x\right)}^2=\left(x+3\right)\left(11x-2\right) \\ {\left(x+3\right)}^2{x}^2=\left(x+3\right)\left(11x-2\right) \\ {\left(x+3\right)}^2{x}^2-\left(x+3\right)\left(11x-2\right)=0 \\ \left(x+3\right)\left[{\left(x+3\right)}^{}{x}^2-\left(11x-2\right)\right]=0 \\ \left(x+3\right)\left(x^3+3x^2-11x+2\right)=0 \end{gathered}$$

Następnie zajmijmy się wielomianem w drugim nawiasie. Pierwiastkami tego wielomianu - całkowitymi, mogą być liczby $1$, $-1$, $2$, $-2$. Wykonajmy sprawdzenie (oraz dzielenie) schematem Hornera.

	$1$	$3$	$-11$	$2$
$-2$	$1$	$-3$	$-5$	$8$
$2$	$1$	$5$	$-1$	$0$

Zatem $x=2$ jest pierwiastkiem tego wielomianu, otrzymujemy

$\left(x+3\right)\left(x-2\right)\left(x^2+5x-1\right)=0$

Obliczmy pierwiastki pozostałego trójmianu w kwadracie.

$$\begin{gathered} \Delta =5^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=25+4=29,\sqrt{\Delta }=\sqrt{29} \\ x=\frac{-5-\sqrt{29}}{2}\text{lub}x=\frac{-5+\sqrt{29}}{2} \end{gathered}$$

Zauważmy, że 

• dla $x=-3$ wyrazy ciągu to $\left(0,0,-35\right)$ - nie jest to ciąg geometryczny,
• dla $x=2$ wyrazy ciągu to $\left(5,10,20\right)$,
• dla $x$ będącego pierwiastkiem równania $x^2+5x-1=0$ wyrazy ciągu nie są liczbami całkowitymi.

Stąd dla $x=2$ mamy ciąg geometryczny.