Wykonajmy rysunek pomocniczy wraz z oznaczeniami.

---

a)

Kąt między najkrótszymi i najdłuższymi bokami został zaznaczony na rysunku. Obliczmy z twierdzenia cosinusów w trójkącie $ABC$

${\left|AC\right|}^2={\left|AB\right|}^2+{\left|BC\right|}^2-2\cdot \left|AB\right|\cdot \left|BC\right|\cdot \cos \left|\sphericalangle ABC\right|$

${\left|AC\right|}^2=1^2+2^2-2\cdot 1\cdot 2\cdot \cos \left|\sphericalangle ABC\right|$

${\left|AC\right|}^2=1+4-4\cos \left|\sphericalangle ABC\right|$

${\left|AC\right|}^2=5-4\cos \left|\sphericalangle ABC\right|\left(\ast \right)$

Obliczmy z twierdzenia cosinusów w trójkącie $ADC$

${\left|AC\right|}^2={\left|AD\right|}^2+{\left|CD\right|}^2-2\cdot \left|AD\right|\cdot \left|CD\right|\cdot \cos \left|\sphericalangle ADC\right|$

${\left|AC\right|}^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos \left|\sphericalangle ADC\right|$

${\left|AC\right|}^2=9+16-24\cos \left|\sphericalangle ADC\right|$

${\left|AC\right|}^2=25-24\cos \left|\sphericalangle ADC\right|$

Zauważmy, że naprzeciwległy kąt ma miarę (oparty na dopełniającym łuku)

$\left|\sphericalangle ADC\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle ABC\right|$

Zatem

${\left|AC\right|}^2=25-24\cos \left(180^{\circ }-\left|\sphericalangle ABC\right|\right)$

Ze wzoru redukcyjnego

${\left|AC\right|}^2=25-24\cdot \left(-\cos \left|\sphericalangle ABC\right|\right)$

${\left|AC\right|}^2=25+24\cos \left|\sphericalangle ABC\right|$

Z powyższej równości oraz $\left(\ast \right)$ otrzymujemy równanie

$5-4\cos \left|\sphericalangle ABC\right|=25+24\cos \left|\sphericalangle ABC\right||-5-24\cos |\sphericalangle ABC|$

$-28\cos \left|\sphericalangle ABC\right|=20|:(-28)$

$\underline{\underline{\cos \left|\sphericalangle ABC\right|=-\frac{5}{7}}}$

---

b)

Obliczmy korzystając z wyników w poprzednim podpunkcie

$\cos \left|\sphericalangle ADC\right|=\cos \left(180^{\circ }-\left|\sphericalangle ABC\right|\right)$

$\cos \left|\sphericalangle ADC\right|=-\cos \left|\sphericalangle ABC\right|$

$\cos \left|\sphericalangle ADC\right|=-\left(-\frac{5}{7}\right)$

$\cos \left|\sphericalangle ADC\right|=\frac{5}{7}$

Z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy

${\cos }^2\left|\sphericalangle ADC\right|+{\sin }^2\left|\sphericalangle ADC\right|=1$

${\left(\frac{5}{7}\right)}^2+{\sin }^2\left|\sphericalangle ADC\right|=1$

$\frac{25}{49}+{\sin }^2\left|\sphericalangle ADC\right|=1$

${\sin }^2\left|\sphericalangle ADC\right|=\frac{24}{49}$

$\sin \left|\sphericalangle ADC\right|=\frac{2\sqrt{6}}{7}\text{lub}\sin \left|\sphericalangle ADC\right|=-\frac{2\sqrt{6}}{7}$

Wiemy, że $\left|\sphericalangle ADC\right|\in \left(0^{\circ };180^{\circ }\right)$ zatem

$\underline{\underline{\sin \left|\sphericalangle ADC\right|=\frac{2\sqrt{6}}{7}}}$ 

---

c)

Obliczmy pole czworokąta obliczając pola dwóch trójkątów. Mamy

$\sin \left|\sphericalangle ADC\right|=\frac{2\sqrt{6}}{7}$

Oraz

$\sin \left|\sphericalangle ABC\right|=\sin \left(180^{\circ }-\left|\sphericalangle ADC\right|\right)=\sin \left|\sphericalangle ADC\right|=\frac{2\sqrt{6}}{7}$

Otrzymeujemy

$P_{ABCD}=P_{ABC}+P_{ADC}=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot \left|BC\right|\cdot \sin \left|\sphericalangle ABC\right|+\frac{1}{2}\cdot \left|AD\right|\cdot \left|CD\right|\cdot \sin \left|\sphericalangle ADC\right|=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\cdot \frac{2\sqrt{6}}{7}+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{2\sqrt{6}}{7}=\frac{2\sqrt{6}}{7}+\frac{12\sqrt{6}}{7}=\frac{14\sqrt{6}}{7}=\underline{\underline{2\sqrt{6}}}$