Wykaż, że tożsamością jest...- Zadanie 9: Matematyka i przykłady jej zastosowań 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Przekształćmy prawą stronę równości

$\frac{1 + t g α}{1 - t g α} = \frac{1 + \frac{s i n α}{c o s α}}{1 - \frac{s i n α}{c o s α}} = \frac{cos α + sin α}{cos α - sin α} = \frac{( cos α + sin α ) ^{2}}{( cos α - sin α ) ( cos α + sin α )} = \frac{cos ^{2} α + 2 sin α cos α + sin ^{2} α}{cos ^{2} α - sin ^{2} α} = \frac{1 + 2 sin α cos α}{cos ^{2} α - sin ^{2} α} = \dots$

Korzystamy ze wzoru na sinus i cosinus podwojonego kąta i otrzymujemy

$\dots = \frac{1 + sin 2 α}{cos 2 α}$

co należało wykazać.

Przekształćmy lewą stronię nierówność korzystając ze wzorów na sumę sinusów i cosinusów. Mamy

$\frac{sin ( α + β ) + sin ( α - β )}{cos ( α + β ) + cos ( α - β )} = \frac{2 sin \frac{α + β + α - β}{2} cos \frac{α + β - α + β}{2}}{2 cos \frac{α + β + α - β}{2} cos \frac{α + β - α + β}{2}} = \frac{sin \frac{2 α}{2} cos \frac{2 β}{2}}{cos \frac{2 α}{2} cos \frac{2 β}{2}} = \frac{sin α}{cos α} = t g α$