O reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian

Reszta z dzielenia wielomianu $W\left(x\right)$ przez dwumian $x-r$ jest równa liczbie $W\left(r\right)$, czyli $R\left(x\right)=W\left(r\right)$. Jeśli wielomian $W\left(x\right)$ jest podzielny przez dwumian $x-r$, to ta reszta jest równa $0$.

---

a)

Dla wielomianu $x-3$ mamy $x_0=3$. Obliczmy

$W\left(3\right)=3^3-9\cdot 3^2+m\cdot 3-15=27-9\cdot 9+3m-15=12-81+3m=3m-69$

Zgodnie z tym jaka powinna być reszta z dzielenia, aby wielomian był podzielny otrzymujemy równanie

$W\left(3\right)=0$

$3m-69=0$

$3m=69$

$m=23$

Otrzymaliśmy wielomian

$W\left(x\right)=x^3-9x^2+23x-15$

Obliczmy resztę z dzielenia tego wielomianu przez dwumian $x-5$ wykorzystując tę samą własność.

$R\left(x\right)=W\left(5\right)=5^3-9\cdot 5^2+23\cdot 5-15=125-9\cdot 25+115-15=125-225+100=0$

---

b)

Dla wielomianu $x-3$ mamy $x_0=3$. Obliczmy

$W\left(3\right)=3^3+m\cdot 3^2-9\cdot 3-18=27+9m-27-18=9m-18$

Zgodnie z tym jaka powinna być reszta z dzielenia, aby wielomian był podzielny otrzymujemy równanie

$W\left(3\right)=0$

$9m-18=0$

$9m=18$

$m=2$

Otrzymaliśmy wielomian

$W\left(x\right)=x^3+2x^2-9x-18$

Obliczmy resztę z dzielenia tego wielomianu przez dwumian $x-5$ wykorzystując tę samą własność.

$R\left(x\right)=W\left(5\right)=5^3+2\cdot 5^2-9\cdot 5-18=125+2\cdot 25-45-18=125+50-63=175-63=112$