a)

Założenie:

${\log }_{\sqrt{2}}3=a$   

Teza:

${\log }_{\sqrt{2}}12=4+a$   

Dowód:

${\log }_{\sqrt{2}}12={\log }_{\sqrt{2}}\left(3\cdot 4\right)={\log }_{\sqrt{2}}3+{\log }_{\sqrt{2}}4=$  

Korzystamy z założenia:

$=a+{\log }_{\sqrt{2}}4=a+{\log }_{\sqrt{2}}{2}^2=a+2\cdot {\log }_{\sqrt{2}}2=$  

$=a+2\cdot 2=a+4=\underline{\underline{4+a}}$  

Co należało wykazać.

---

b)

Założenie:

${\log }_{12}4=a$

Teza:

${\log }_{4}36=\frac{2-a}{a},a^{}\ne 0$

Dowód:

${\log }_{4}36=\frac{{\log }_{12}36}{{\log }_{12}4}=\frac{{\log }_{12}\left(144:4\right)}{{\log }_{12}4}=$

$=\frac{{\log }_{12}144-{\log }_{12}4}{{\log }_{12}4}=\frac{{\log }_{12}12^2-{\log }_{12}4}{{\log }_{12}4}=$

$=\frac{2\cdot {\log }_{12}12-{\log }_{12}4}{{\log }_{12}4}=\frac{2-{\log }_{12}4}{{\log }_{12}4}=\dots$

Korzystamy z założenia:

$\dots =\frac{2-a}{a}$

Co należało wykazać.